专题01 基本不等式全题型与技巧归纳（原卷版+解析版） 人教版（2019）高一数学必修一

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专题01 基本不等式全题型与技巧归纳（原卷版） 人教版（2019）高一数学必修一 题型建模 专项突破题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析1．（24-25高一上·江苏淮安·月考）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ）A．－4B．4C．8D．162．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ）A．若，且，则B．当时，C．当时，的最小值为2D．当时，3．（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（   ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（23-24高一上·湖北·月考）下列函数中，最小值为的是（    ）A．B．C．，D．5．（23-24高一上·福建泉州·月考）（多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ）A．B．C．D．6．（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ）A．B．C．D．题型二、直接法求最值1．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ）A．有最小值为B．有最大值为C．有最小值为D．有最大值为2．（25-26高一上·全国·单元测试）的最小值为（    ）A．1B．2C．4D．53．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ）A．4B．6C．D．84．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ．5．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ，6．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为 .题型三、拼凑法求最值（常考点）1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ）A．3B．4C．D．52．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ）A．B．C．D．3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·月考）已知，，则的最大值是（    ）A．B．C．D．4．已知，则的最大值为（    ）A．B．0C．4D．5．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知，则的最大值是（    ）A．B．C．D．6．已知，则的最小值为（    ）A．B．C．D．不存在题型四、常数代换法求最值（重点）1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ）A．5B．6C．D．2．（25-26高一上·全国·课堂例题）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）A．6B．C．D．3．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ）A．6B．12C．D．274．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ）A．36B．24C．18D．125．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，则的最小值为（    ）A．1B．2C．3D．46．（24-25高一上·海南海口·月考）已知正实数a、b满足，则的最小值为（    ）A．2B．3C．D．7．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ）A．2B．4C．D．8．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．题型五、二次（一次）的商式求最值1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ）A．B．C．D．2．（24-25高一上·江苏·月考）（多选题）下列各式中，最小值是6的有（    ）A．B．C．D．3．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 .4．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ．5．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值；（2）设，求的最小值.题型六、消元法求最值1．已知都是正实数，，则的最小值为（    ）A．B．C．D．2．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知正数x，y满足，则的最小值是（    ）A．3B．5C．6D．123．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ）A．B．5C．D．4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）（多选题）已知，，.则（    ）A．B．C．D．5．（24-25高一下·浙江湖州·月考）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．6．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知，为非负实数，且，则的最小值为 .题型七、换元法求最值1．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ）A．B．C．D．2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若正实数x，y满足，则的最小值是 .3．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 .题型八、双换元法求最值1．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ）A．1B．C．D．2．（24-25高一上·吉林白城·期中）（多选题）已知实数满足，且，则的值可以为（    ）A．B．7C．D．53．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .4．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ．题型九、利用基本不等式证明（难点）1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且.(1)证明：；(2)求的最小值.2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知，求证(1)；(2).3．（24-25高一上·上海·期中）设a，b都是正数.(1)证明：；(2)若，求的最小值.4．已知正实数a，b，c满足.(1)求的最小值；(2)证明：，5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；（2）已知，，，求证：．6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：；（2）若，，都是正数，求证：.题型十、实际问题中的基本不等式1．（25-26高一上·全国·单元测试）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件．2．（24-25高一上·广西柳州·期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要 米棚栏.3．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元．4．（24-25高一上·陕西渭南·月考）某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为．(1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值；(2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？6．（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为．(1)当，时，求甲从小岛到城镇所用时间；(2)若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，．题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）A．B．C．D．2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（   ）A．10B．9C．8D．73．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·月考）（多选题）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ）A．B．C．D．4．（24-25高一上·吉林长春·期中）当时，不等式有解，则实数m的最小值为 .5．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 .6．（24-25高一上·浙江·月考）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 .7．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，恒成立，则的取值范围是 .8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .综合攻坚 能力跃升1．已知，求的最大值为（    ）A．B．C．D．2．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数的最小值为（    ）A．2B．C．4D．3．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ）A．1B．2C．3D．44．（23-24高一上·重庆渝北·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ）A．2B．3C．4D．56．（24-25高一上·福建泉州·月考）设，，若，则的最小值为（    ）A．6B．9C．D．187．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ）A．B．10C．D．128．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ）A．B．5C．D．79．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ）A．15B．18C．24D．3610．（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ）A．B．C．D．11．（24-25高一上·上海·月考）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ）A．9B．1C．D．412．已知且，则的最小值为（    ）A．B．7C．15D．13．（24-25高一上·湖北荆州·月考）设正数满足，则的最小值为（    ）A．B．C．D．14．（24-25高一上·河北保定·期末）已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ）A．B．C．D．15．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ）A．B．4C．D．216．（23-24高一上·福建南平·月考）（多选题）下列结论正确的是（    ）A．设，则的最小值是B．当时，的最小值是2C．当时，D．当时，的最小值是517．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选题）下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若，则18．（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．D．19．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ．20．已知，则的最小值为 .21．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 .22．（24-25高一上·天津武清·月考）已知，且，则的最小值为 ，此时 ．23．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 .24．已知，则的最小值为 .25．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 .26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．27．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 .28．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，求证：(1)；(2)．29．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明：(1)；(2)．30．（24-25高一上·上海·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量；(1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？(2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？31．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明：(1)；(2).32．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．(1)求a与b满足的关系式；(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．33．（24-25高一上·广西南宁·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知，，且，求的最小值.李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.(1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）设，，都是正数，求证：；（ii）已知，，且，求的最小值.