专题01 函数的定义域、值域、解析式（原卷版+解析版） 人教版（2019）高一数学必修一

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专题01 函数的定义域、值域、解析式（解析版） 人教版（2019）高一数学必修一 题型建模 专项突破 题型一、具体函数的定义域（含同一函数的判断）（常考点） 1．（24-25 高一上·广东江门·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由 解得 且 ， 所以 的定义域为 . 故选：D 2．（25-26 高一上·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ） A． B． 1 / 23   C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A 项： 和 的定义域均为 ，对应法则也相同，所以 和 是同一个函数； B 项： 的定义域为 的定义域为 ，所以 和 不是同一个函数； C 项： ，其中 ，即 ，其中 0，即 ， 所以 和 的定义域不同，故 和 不是同一个函数； D 项： 和 的定义域均为 ，但 ， 而 对应关系不同，所以 和 不是同一个函数． 故选：A 3．（25-26 高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由 ，得 或 ，所以函数 的定义域为 或 由 得 ，所以函数 的定义域为 ． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故 A 错误； 函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不同，不是同 一个函数，故 B 错误； 函数 的定义域为 ， 函数 的定义域为 ，是同一个函数，故 C 正确； 函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，且对应关系也相同，是同 2 / 23   一个函数，故 D 正确. 故选：CD 4．（2025 高一·全国·专题练习）函数 的定义域为 ． 【答案】 或 ． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知， ，即 ， 解得 ， 故函数的定义域为 或 ． 故答案为： 或 ． 题型二、一次、二次、反比例函数的值域 1．（25-26 高一上·河南南阳·开学考试）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合 B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合 ， ， 则 ， 则 . 故选：B. 2．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，由 ，得 ，所以 ． 3．（25-26 高一上·全国·单元测试）函数 在区间 上的值域为 ． 【答案】 3 / 23   【分析】根据函数在 上的单调性求解即可. 【详解】因为函数 在 上恒正且单调递增，则 在 上单调递减， 所以 ，故 的值域为 ． 故答案为： . 4．（24-25 高一上·福建漳州·月考）函数 的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数 的对称轴为 ，开口向下， 且 时， ； 时， ； 时， ， 则函数 的最小值为 0，最大值为 4， 所以 的值域为 . 故答案为： . 5．（23-24 高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：① ；② ；③ ；④ .其中值域为 R 的函数是 . 【答案】① 【分析】分别就四种函数，从定义域和函数式的结构组成考虑，探求其值域即得. 【详解】对于① ，函数 的定义域为 R，值域也是 R，符合题意； 对于② ，函数 的定义域为 R，因 ， 则 ，即函数的值域为 ，不合题意； 对于③ ，函数 的定义域为 R， 因 ，则 ， 即函数的值域为 ，不合题意； 对于④ ，函数 的定义域为 ， 当 时， ，当 时， ， 即函数的值域也是 ，不合题意. 故答案为：①. 4 / 23   题型三、分式型函数的值域（难点） 1．（25-26 高一上·全国·课前预习）函数 的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为 ，所以 ， 故所求值域为 ． 故答案为： . 2．（24-25 高一上·安徽合肥·月考）函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数为 ，根据其单调性求解即可． 【详解】由 ， 函数 在 上单调递减， 所以当 时， ， 当 时， ， 所以函数 的值域为 ． 故答案为： ． 3．函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】令 ，换元得 ，再求二次函数的值域即可. 【详解】 ， 令 ，则 ， 得 ， 5 / 23   当 时， 取得最小值为 ， 则函数 的值域为 故答案为： 4．（2025 高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数 在 上的最大值； (2) 的值域； (3) 的最小值； (4) 的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1） ． 其图象可由反比例函数 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到，如图所示． 6 / 23   当 时 ，当 时 ，所以 在 上的最大值是 ． （2）因为 ，所以 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故函数的值域为 ． （3）因为 ，所以 ， 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ，则 ，故函数在 上的最小值为 . （4） ， 设 ，则 ， 即 ，故所求函数的值域为 ． 题型四、根式型函数的值域 1．（24-25 高一上·江苏无锡·月考）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令 ，则可得 ，即 ， 可得 ， 当 时， 取得最大值 2，即 ； 7 / 23   所以其值域为 . 故选：A 2．已知函数 ，则函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得 ，进而可得结果. 【详解】令 ，可得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为 ，当且仅当 时，等号成立， ，则 ， 所以函数 的值域为 . 故答案为： . 3．函数 的最小值为 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由 ，得 ，则函数的定义域为 ， 当 时， ，则 ， 所以 ，即 ， 所以 的最小值为 1. 故答案为：1 4．（23-24 高一上·安徽淮南·期中） 的值域是 【答案】 【分析】根据函数解析式，求得其定义域，结合值域的定义，可得答案. 【详解】由函数 ，则 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ，由 ，则其值域为 . 故答案为： . 5．已知函数 ，则 的值域为 . 8 / 23   【答案】 【分析】令 ，求得 ，结合基本不等式，求得 ，进而求得 函数 的值域，得到答案. 【详解】由函数 ，可得 且 ，解得 ， 又由 ，则 ，可得 ， 因为 ，则 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 ，可得 ， 所以函数 的值域是 . 故答案为： . 6．函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得 替换化简结合分式不等式解得函数值域. 【详解】由题意得 得 则 ， 得 ，解得 或 ． 故函数 的值域为 ． 故答案为： . 题型五、待定系数法求解析式 1．（2025 高一·全国·专题练习）已知二次函数 满足：对任意 ，均有 ，且 ，求 的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设 （ ）， 对任意 均有 成立， 则 ， 9 / 23   即 恒成立，则有 ，解得 ， 又 ，得 ， 所以 ． 2．已知 是一次函数．且 ．求函数 的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为 ，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设 ， 由 ，得 ， 即 ，所以 且 ． 解得 或 ， 当 时， ，故 ，所以 ， 当 是， ，无解， 综上， ． 3．（23-24 高一上·云南昭通·月考）（1）若二次函数 满足 ，且图象过原点，求 的解析式; （2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式. 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论 为何值都成立, 解得 10 / 23   题型六、换元法求解析式（重点） 1．已知 ，则 ． 【答案】 【分析】换元法求解函数解析式. 【详解】令 ，则 ，故 ，故 故答案为： 2．已知 ，则 的值为 . 【答案】3 【分析】根据题干条件求出 的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令 ，则 ，进一步可得 ， ， ， 故答案为：3. 3．（24-25 高一上·四川成都·期中）已知函数 ，求 ． 【答案】 【分析】令 ，求解 代入计算可得 ，从而求出 . 【详解】因为函数 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 故答案为： 4．（24-25 高一上·福建泉州·期末）已知 ，则 ． 【答案】3 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令 ， ， 11 / 23   ， ， ． 故答案为：3． 题型七、配凑法求解析式 1．（24-25 高一上·甘肃白银·期中）已知函数 对任意的 满足等式 ，则 = ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解. 【详解】因为 ， 所以 . 故答案为： . 2．（24-25 高一上·吉林长春·月考）若 ，则 . 【答案】2 【分析】根据已知求得函数解析式，进而求解结果. 【详解】因为 ，即 ， 所以 ，故 ，所以 . 故答案为：2. 3．（23-24 高一上·上海·期中）已知 ， ，则 ． 【答案】 【分析】根据两个函数的解析式可得出 的表达式. 【详解】对于函数 ，有 ， 又因为 ，故 . 故答案为： . 12 / 23   4．（23-24 高一下·全国·课堂例题）若函数 ，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数 ，又 的值域为 ， ， 故答案为： . 题型八、方程组法求解析式 1．（24-25 高一上·贵州六盘水·月考）已知函数 满足 ，则 （ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令 联立方程组，求得答案. 【详解】因为 ，分别令 ， 联立得 ，解得 ， 故选：C. 2．（24-25 高一上·广东·期中） 的定义域为 ，满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出 的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由 ，得 ，联立消去 ，得 ， 而 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以当 时， 取得最小值 . 13 / 23   故选：A 3．（24-25 高一上·重庆·期中）已知函数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得 ， ，解方程即可. 【详解】因 ①， 用 代替①中的 得： ②， 则 得： ，解得 . 故选：D. 4．已知函数 满足 ，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将 替换成 和将 替换成 ，构造方程组求解即可； 【详解】由 ，① 将 替换成 ，可得： ，② 再将①中 替换成： ，可得： ，③ ①②相减可得： ，④ ③④相加可得： ， 所以 ， 故答案为： 综合攻坚 能力跃升 14 / 23   1．（25-26 高一上·全国·课前预习）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得 且 ，则 且 ， 故函数 的定义域为 . 故选：B. 2．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数 的定义域和值域，再求 即可. 【详解】由 有意义可得 ， 所以 ， 所以 ， 所以函数 的定义域 ， 由 ，可得 ， 所以函数 的值域 所以 . 故选：D. 3．（24-25 高一上·江苏·期中）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为 ，所以， . 15 / 23   因此，函数 的值域为 . 故选：C. 4．（24-25 高一上·重庆·期中）下列函数中，值域为 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域. 【详解】A： 在 上递减，在 上递增，值域为 ，错； B： 在 上递增，值域为 ，错； C： 在 取等号，结合对勾函数性质知，在 上的值域为 ，错； D： 在 上递增，故值域为 ，对. 故选：D 5．（23-24 高一上·福建厦门·月考）函数 的值域是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，即可求解值域. 【详解】函数 的定义域满足 ，解得 或 ，所以函数 的定义域为 ， 当 时 ，当 时 ， 所以函数 的值域是 . 故选：D 6．（24-25 高一上·吉林四平·月考）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数 的定义域，将函数 变形成 ，再结合二次函数值 16 / 23   域求解. 【详解】函数 中， ， ， 则 ， 而 ，因此 ， 所以函数 的值域为 . 故选：A 7．（25-26 高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由 ，得 或 ，所以函数 的定义域为 或 ． 由 得 ，所以函数 的定义域为 ． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故 A 错误； 函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不同，不是同 一个函数，故 B 错误； 函数 的定义域为 ， 函数 的定义域为 ，是同一个函数，故 C 正确； 函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，且对应关系也相同，是同 一个函数，故 D 正确. 故选：CD 8．（24-25 高一上·重庆万州·期中）（多选题）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数， 17 / 23   则下列函数为同域函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由同域函数的定义，讨论选项中函数的定义域和值域即可. 【详解】对于 A，因为 的定义域与值域均为 ，所以 是同域函数，A 选项正确； 对于 B，因为 的定义域与值域均为 ，所以 是同域函数，B 选项正确； 对于 C，对于函数 ，其定义域为 ，当 时， ，所以 不是同域函数，C 选项 错误； 对于 D，因为 ，由 得 ， 所以 的定义域与值域均为 ，所以 是同域函数，D 选项正确. 故选：ABD. 9．（24-25 高一上·安徽·期中）已知 ，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，令 ，代入运算整理即可. 【详解】令 ，则 ， 可得 ，所以 . 故答案为： . 10．函数 在 上的值域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，按 分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当 时， ； 当 时，令 ， ，则 ， 18 / 23   ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 所以所求值域为 . 故答案为： 11．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数 ，则 ． 【答案】 （ 且 ） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于 ， （ 且 ）， 则 ， 所以 , 且 ，所以 （ 且 ）． 故答案为： （ 且 ）． 12．（23-24 高一上·浙江宁波·期中）函数 ， 的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于 x 的方程 有正根，分 和 两种情况，结合二 次函数分析求解. 【详解】因为 ，整理得 ， 可知关于 x 的方程 有正根， 若 ，则 ，解得 ，符合题意； 若 ，则 ， 可得 或 ， 解得 或 且 ，则 或 或 ； 综上所述： 或 ， 19 / 23   即函数 ， 的值域为 . 故答案为： . 13．（25-26 高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1) ； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】(1)要使函数有意义，只需令 ，其解集即为函数 的定义域. (2)要使函数 有意义，需满足 ,其解集即为 的定义域. 【详解】（1）要使函数 有意义，只需令 ，解得： , 所以函数 的定义域为： . （2）要使函数 有意义，需满足 ,所以 , 所以 的定义域为: 14．求下列函数的值域． (1) ； (2) ； 【答案】(1) (2) 且 【分析】（1）利用函数的单调性可求出最值，可求得值域； （2）将函数式分离常数，结合反比例函数的值域可得解. 【详解】（1）解：由 ，可得其对称轴为 ， 所以函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以当 时，函数取得最小值，最小值为 ， 又由当 时， ；当 时， ， 20 / 23   所以函数的最大值为 ， 所以函数 在区间 上的值域为 . （2）解：由函数 ， 可得其定义域为 ，则 ，即 ， 所以函数 的值域为 且 . 15．求下列函数的值域： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据 即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由 ，即所求函数的值域为 ； （2）由 ， ∵ ，∴ ， 即函数的值域为 ； （3）由 ，∴函数的定义域为 ， ， 即 ，∴ ， 即函数的值域为 ； 21 / 23   （4）由 ，得 ， ∴所求函数的值域为 ． 16．（23-24 高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1) ； (2) ； (3) . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）采用分离常数法可知 即可得其值域为 ； （2）利用换元法，将原函数表示为 ，根据二次函数单调性可求得结果； （3）求得函数定义域为 ，求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）由于 ，且 ； 所以可得 ， 因此函数的值域是 ． （2）令 ，所以 ， 即 ， 当 时， ， 即函数的值域为 . （3）易知需满足 ，即 ，即函数定义域为 ； ， 由二次函数性质可得 ， 所以 的值域为 ． 17．（24-25 高一上·上海·课堂例题）（1）已知 是一次函数，且 ，求 的表达式； 22 / 23   （2）已知 ，求 的表达式； （3）已知 ，求 的表达式； （4）已知 ，求 的表达式． 【答案】（1） 或 ；（2） ；（3） ；（4） 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）（3）利用换元法即可求解. （4）利用方程组法即可得到答案； 【详解】（1）设 ． ∵ ， ，解得 或 ， ∴ 或 ． （2）令 则 ． ∵ ， ∴ ． （3）令 ， ，则 ，即 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． （4）∵ ，① ∴ ．② 得 ， ∴ ． 23 / 23