专题03 三角函数的图像辨析与图像变换问题 练习（原卷版+解析版）

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专题03 三角函数的图像辨析与图像变换问题（解析版） 人教版（2019）高一数学必修一 题型建模 专项突破 题型一、含绝对值的三角函数 1．设函数，则（    ） A．在区间上是单调递减的 B．是周期为的周期函数 C．在区间上是单调递增的 D．对称中心为， 【答案】A 【分析】先当时，，又是偶函数，由此可判断命题的真假. 【详解】当时，，在上是单调递减的，故A正确； 是偶函数，无周期性，故B错误； 是偶函数，在单调递减，故C错误； 是偶函数，无对称中心，故D错误； 故选：A 2．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图象即可求解. 【详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 3．（23-24高一下·广东茂名·期中）（多选题）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图象，    当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 4．（24-25高一·上海·随堂练习）有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】利用正余弦函数的图象与性质可判断结论. 【详解】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于y轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于x轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将的解析式变形为分段函数类型，然后根据的图象有个交点确定出的取值范围. 【详解】由条件可知，， 在同一坐标系内，作出函数和函数的图象，如下图所示， 要使方程有个根，则函数和函数的图象有个交点， 由图象可知． 题型二、三角函数图像的辨析 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性可排除BC，根据的符号可判断AD. 【详解】由题易知的定义域为R,可得， 因此函数是偶函数，B，C错误， 当时，，D错误，A正确． 故选：A 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数在区间上的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当时，，判断出答案. 【详解】化简函数解析式可得，定义域为R， ， 为奇函数，AC错误； 又因为当时，，B错误，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【详解】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性及进行判断. 【详解】因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，排除A； 因为，排除C，D． 故选：B． 5．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 题型三、三角函数的图像变换（常考点） 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】应用三角函数伸缩的规则判断即可. 【详解】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象； 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【详解】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则函数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象平移、伸缩变换法则即可求解. 【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 故选：B. 4．（24-25高一下·河北承德·期末）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数平移伸缩变换法则求解即可. 【详解】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 则. 故选：B. 5．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 题型四、三角函数的图像变换结合性质考查（重点） 1．（24-25高一下·河南南阳·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式及正余弦函数的奇偶性列式求解. 【详解】依题意，函数， 由函数为偶函数，得，而，则， 所以实数的值为. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 3．将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位后，所得的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数平移的规则，求出平移后的新函数，然后将代入新函数，得，结合条件求出即可. 【详解】函数向左平移个单位，再向上平移1个单位后，得到的新函数为 当时，, 化简得, 即, 则,其中，解得,， 又因为, 所以，所以 故选：C. 4．（24-25高一下·江西上饶·期中）把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移可得函数，利用正弦函数的单增区间即可求得的单增区间. 【详解】由题意得， 由，得， 所以的单调递增区间为． 故选：B. 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移和伸缩变换得，即可利用整体法，结合正切函数的性质求解. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，得到， 再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 由，解得， 所以对称中心为，， 故选：A． 题型五、异名的三角函数的图像变换 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式将变成，再由平移变换可选出正确答案. 【详解】， 只要把上所有点向左平移即可得到 故选：C 2．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 【答案】C 【分析】根据平移变换求出相应解析式一一与比对得解· 【详解】因为向左平移个单位可得， 向左平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 故C正确，ABD错误. 故选：C 3．（24-25高一下·湖北·月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】由条件利用诱导公式，的图象变换规律，得出结论. 【详解】， ， 所以只需把函数的图象，向左平移个单位，得到的图象. 故选：A. 4．（24-25高一上·天津南开·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简并变形得，然后根据图象的平移变换判断即可. 【详解】，， 所以的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 题型六、根据图像求解析式（难点） 1．（25-26高一上·全国·单元测试）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知的部分图象，确定的方法 （1）逐一定参法：如果从图象可直接确定和，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得，或选取最大值点时代入公式，选取最小值点时代入公式求的值． （2）五点法：将若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五点中的哪一点，并能正确代入列式． （3）图象变换法：运用逆向思维，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 【详解】方法一（逐一定参法）：由题图可得，，即，即， 观察各选项可知，本题考虑即可，则，把点代入中， 可得，故，，即， 所以． 方法二（五点法） ： 由题图知．因为图象过点和，所以， 解得所以． 方法三（图象变换法）  ：由题图可得，即，即， 结合选项可知，本题考虑即可．由点在函数图象上， 可知函数图象由的图象向左平移个单位长度而得，所以． 故选：C. 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象可得，求出周期，从而可求出，再将点代入函数中可求出，从而可求出函数解析式. 【详解】由图象可得，解得， 所以，得，所以， 由图象可得当时，， 所以，所以， 得， 所以 . 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，且为函数图象上相邻的最高点和最低点，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在下列区间一定单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象及题意求出，再通过平移得到，计算单调递增区间可得到答案. 【详解】由图象知，因为，所以 所以所以， 又，代入得， 所以，又，所以． 故 将的图象向右平移个单位长度，可得到函数， 令， 即，当时，符合题意． 故选：D. 4．（24-25高一下·湖北十堰·期中）若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 【答案】C 【分析】B选项，根据图象得到，代入，得到方程，结合该点位于单调递增区间，求出；A选项，将代入，结合，得到；C选项，整体法求出函数单调递增区间；D选项，时，， 又关于对称，得到方程，解得，代入解析式，求出答案. 【详解】B选项，由图易得：， 又因为图像过点，所以，，得或 又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对 A选项，因为图像过，即，，， 设函数最小正周期为，则由图得，即，故， 又，所以只有当时，满足要求，A对 C选项，，令， 解得， 故单调递增区间为，，C错 D选项，时，， 又，关于对称， 所以，解得 ，D对 故选：C 5．（24-25高一下·四川·期中）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，其中，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上有4050个零点 【答案】ABD 【分析】坐标可得周期；由图象可知，可求得解析式；将图象向后延拓即可判断C D选项. 【详解】依题意得，，则，所以，解得，故A正确； 由图可知，所以，又，所以，故B正确； 延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误； 因为在上有2个零点，所以在上有4050个零点，故D正确. 故选：ABD. 综合攻坚 能力跃升 1．对于四个函数，，，，下列说法错误的是（    ） A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心 B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴 C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴 D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心 【答案】D 【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对； 对于B选项，如下图所示： 由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对； 对于C选项，如下图所示： 由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错. 故选：D. 2．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 3．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象求周期，然后可判断①；根据正切函数定义域可判断②；代入验证可判断③；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断④. 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 4．（24-25高一上·河南周口·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】先将两个函数名称变成一样，再根据平移规则变换即可. 【详解】， 根据“左加右减”平移规则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到. 故选：A. 5．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高一下·山东潍坊·月考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（  ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】将函数 的表达式利用诱导公式变化为正弦的形式，然后与函数 的解析式作比较，根据左加右减法则得到平移的方向和平移量. 【详解】因为， 所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移2个单位长度， 故选：A. 8．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则可得出，即可求出为偶函数；若为偶函数，则利用偶函数的性质可得，得到答案. 【详解】若，则， 则（舍）或， 则，则， 若为偶数，则为偶函数， 若为奇数，则为偶函数； 综上，充分性成立； 若为偶函数，则，必要性成立； 故“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 9．（24-25高一下·云南昆明·期末）若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简得，根据对称轴求出的值，将代入解出的值. 【详解】根据辅助角公式得：， 因为的图象关于对称， 所以，解得即， 则. 故选：B 10．（24-25高一下·安徽·月考）已知在函数的图象上，相邻两条对称轴之间的距离为．若函数的图象关于y轴对称，那么函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的周期，即可求出，再根据函数的图象关于y轴对称可求出，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可. 【详解】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为， 所以． 因为函数的图象关于y轴对称， 所以，即, 又，所以, 所以， 则，故不是对称中心，直线不是对称轴， ，所以其图象关于点对称． 故选：B． 11．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，分析可知的图象关于点对称，了正弦型函数的对称性结合的取值范围可得出的值. 【详解】设函数的最小正周期为，则，则，， 由，得的图象关于点对称， 则，得，因为，所以． 故选：D. 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数的性质，利用函数的奇偶性及函数取值情况判断即可. 【详解】函数中， ，，即函数定义域为， ， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除BD； 当时，，即，排除A. 故选：C 13．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出，进而得出函数的解析式，再利用函数性质求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期是以及， 所以由，则， 设图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象， 则， 由图象关于原点中心对称可知，， 又，所以， 所以， 当时，， 所以 所以原函数在区间上的值域为， 故选：D. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为3 B．最小值为 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为 【答案】BD 【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以， 当时，，故A错误； 当时，，故B正确； 由，得，所以函数的对称中心为， 当时，的一个对称中心为，故C错误； 由，得，所以的对称轴为， 当时，函数的一条对称轴为，故D正确. 故选：BD. 15．（24-25高一下·四川泸州·期中）（多选题）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．的表达式可以写成 B． C．在区间上单调递增 D．若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由的部分图象求出和，写出函数的解析式，再利用诱导公式化为余弦型函数；对于B，利用诱导公式化简再与比较即可；对于C，由x的范围，求得整体角的范围，结合正弦函数的单调性，即可判断；对于D，由求出方程在上的6个根与第7个根，依题意即可求得m的取值范围． 【详解】对于A，由的部分图象知，，所以， 因为，所以， 又，由图知函数在区间上单调递增， 根据五点法可得，解得， 所以，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，时，，因函数在上单调递减， 故在上单调递减，故C错误； 对于D，由，得，所以或，； 解得或，；由在上有6个根， 则6个根从小到大依次为，，，，，； 第7个根为，所以m的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 16．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．若，的增区间为() C．若，则的图象关于点中心对称 D．的最小正周期为，则 【答案】AB 【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项即可. 【详解】对A，因为，所以，故A正确； 对B，当时，， 由，可得， 所以的单调递增区间为()，故B正确； 对C，因为且不恒为，所以的图象不可能关于点对称，故C错误； 对D，若的最小正周期为，则可得，解得，故D错误. 故选：AB． 17．（23-24高一上·江苏连云港·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】B选项，先得到，故，得到B错误；A选项，分与，结合得到的最大值为3；C选项，求出，故C正确；D选项，时，不单调，D错误. 【详解】B选项，由于为偶函数， 故， 由于， 所以的最小正周期不为，B错误； A选项，当时，， 当时，， 又， 所以函数的一个周期为，可得的最大值为3，A正确； C选项，， 故函数的图象关于直线对称，C正确； D选项，由A选项得，时，不单调，故D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 18．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 19．（24-25高一下·广东·期中）函数的部分图象如图所示，若，则 . 【答案】 【分析】由题意，又且是轴左侧第一个零点，求得，进而可求得，可求解. 【详解】由题意可知，又，则， 因为为递增区间上的零点，且， 所以，， 故，，由条件可得函数的最小正周期， 又，所以，故，故，即，则， 由题意可知，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称，即关于对称， 所以，即. 故答案为：. 20．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的零点之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由两角和的正弦和二倍角的正弦对化简，然后由图象平移的性质得到，再整体代入求解单调区间可得； （2）由正弦函数的单调性可得； （3）先由诱导公式和三角恒等变化对化简，再由正弦函数的取值可得. 【详解】（1）因为， 又因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 所以， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得. 由正弦函数性质可知，， 故在的值域为. （3） ， 由，得，得或， 即或， 因为，所以或或或， 故在上的零点之和为.