专题01 集合10大重点题型（原卷版+解析版） 人教版（2019）高一数学必修一

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专题01 集合10大重点题型（解析版） 人教版（2019）高一数学必修一题型建模 专项突破 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定：题型一、数集与点集1．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ）①；②；③；④；⑤；⑥.A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案.【详解】，①正确；，②正确；为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误；，④错误；，⑤错误；，⑥正确.故选：A2．（24-25高一上·福建泉州·月考）方程组解集是（    ）A．B．C．D．或【答案】C【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集.【详解】由，解得或，所以方程组解集是.故选：C.3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解.【详解】因为集合，，所以,故选：D4．集合中的元素个数为（   ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数.【详解】因为，所以．又，所以，所以可能的取值为，分别代入可得，所以集合A中共有6个元素．故选：D题型二、集合中元素的互异性应用（常考点）1．已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ．【答案】 或【分析】根据集合的互异性求解即可.【详解】对于①，由集合的互异性知，；对于②，当时，即或，由集合的互异性得满足条件，不满足；当时，即或，由集合的互异性得满足条件，不满足；综上所述，或.故答案为：①，②或.2．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ．【答案】且【分析】根据集合中元素的互异性求解.【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且，故答案为：且3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ．【答案】【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解【详解】由于集合等于集合，所以，此时可得，则，可得，当，不满足集合元素互异性,故舍，所以，所以，故答案为：4．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知集合，集合.(1)若，求的值；(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解；（2）按照，讨论，验证即可求解.【详解】（1）∵，当，即时，此时，不成立，当，即，此时，成立，∴；（2）由题意可得，，若，则，不符合题意，若，则，不符合题意，故不存在实数a和x的值，使得.题型三、集合与元素中的参数问题1．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.【详解】由且，得解得，故选：A．2．（24-25高一上·上海虹口·月考）若集合的子集只有两个，则实数 ．【答案】0或【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可．【详解】的子集只有两个，有一个元素，①时，，满足题意；②时，，解得，或．故答案为：0或．3．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围．【答案】或【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可.【详解】因为集合中至多有一个元素，当时，，符合题意；当时，则，解得；综上所述：k的取值范围或.4．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素．(1)证明：；(2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值．【答案】(1)证明见解析(2)的值为的值为62．【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得.（2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可.【详解】（1）证明：原方程等价于或，即或.因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素，所以方程或均有实数根，由求根公式可得：，，，.由于，所以当时，恰有3个元素，即．（2）由（1）知，，原方程等价于或，则两个方程的三个根分别为.若它们是直角三角形的三边，则且解得：．故的值为，的值为62．题型四、子集、真子集的个数1．（24-25高一上·湖北恩施·月考）已知集合，则集合的真子集个数为（    ）A．1B．7C．15D．31【答案】C【分析】由集合中元素个数，判断真子集的个数.【详解】，共有4个元素，故集合的真子集个数为.故选：C.2．若，则集合M的个数是（   ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．3．已知集合，则的子集个数为（   ）A．0B．1C．2D．4【答案】C【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案.【详解】根据题意，联立方程组，可得，所以，解得，即集合，所以集合的子集个数为2个．故选：C．4．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ）A．7B．8C．4D．6【答案】B【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数.【详解】由，则，又，且所以，故子集个数为.故选：B5．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，，则集合B的非空真子集的个数为 .【答案】6【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可.【详解】由题意，当，或时，或；当，或时，或；当，或时，或；综合以上可知，；所以集合B的非空真子集的个数为，故答案为：66．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ．【答案】【分析】根据真子集的个数得，即可求解.【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素，所以，所以，则实数的取值范围为．故答案为：题型五、集合间的基本关系中的参数问题（重点）1．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【分析】根据，列不等式组，求解即可.【详解】因为，又 ，且 ，所以需满足， 解得 . 故选：C2．已知集合，，若，则a的值是（   ）A．1B．C．1或D．0，1或【答案】D【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可.【详解】，，由题意，当Q为空集时，，满足；当Q不是空集时，，由得或，解得或．综上，a的值是0，1或.故选：D3．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据集合的关系可得的范围.【详解】因为，不等式（1）的解集是：；不等式（2）的解集是：，因为，不等式组的解集是，所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，  仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是.故选：D.4．（24-25高一上·广西南宁·月考）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可；【详解】，因为，所以，所以，对应实数的值分别为，其组成集合的子集个数为个.故选：D.5．（24-25高一上·青海西宁·月考）集合，集合.若，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意，分和两种情况讨论即可.【详解】因为，①当时，，解得，②当时，，解得，综上所述，的取值范围是为：.故选：A6．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知集合，若，求的取值范围 【答案】或【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答.【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则，当时，由，得或，解得或，所以的取值范围是或.故答案为：或题型六、集合的交、并、补运算1．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知全集，，.(1)求，；(2)求，.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果.（2）根据补集的概念计算，利用集合的基本运算得到结果.【详解】（1）由题意得，，，，∴.（2）由题意得，，，∴，.2．（24-25高一上·天津·期中）已知全集，集合或.(1)求；(2)求；(3)求.【答案】(1)或；(2)或；(3).【分析】（1）根据并集的概念求解；（2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解；（3）先利用补集的概念求出，再利用交集的概念求解.【详解】（1）∵集合或，∴或.（2）∵全集，集合，∴或，又或，∴或.（3）∵全集，或，∴，又因为或，∴.3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，，求：(1)，；(2)，．【答案】(1)或，(2)或，.【分析】（1）根据集合的交并补运算即可；（2）根据集合的交并补运算即可.【详解】（1）由，可得，则或，，（2）由题意得或，，因此或，.题型七、韦恩图和容斥原理1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据韦恩图可知图中阴影部分表示的集合为，结合补集和交集的定义与运算即可求解.【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合为.又或，，所以.故选：A2．（24-25高一上·河北保定·期中）某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（    ）A．27B．23C．26D．29【答案】C【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图，如图所示，可知5人只喜欢奥数，2人只喜欢编程，2人只喜欢书法，同时喜欢奥数和编程但不喜欢书法的有9人，同时喜欢编程和书法但不喜欢奥数的有2人，同时喜欢奥数和书法但不喜欢编程的有3人，三种都喜欢的有3人，则该班学生人数为.故选：C.3．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ).A．10B．9C．7D．4【答案】A【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，所以，解得，故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.4．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选题）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】AB【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案.【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是，所以AB选项正确、C选项错误.而，不符合题意，D选项错误.故选：AB5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）（多选题）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）A．B．C．D．【答案】AD【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得.【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者.故选：AD.题型八、集合的基本运算中的参数问题（难点）1．设全集，集合，则的值是（    ）A．4B．5C．7D．9【答案】A【分析】根据补集运算以及集合相等解方程可得结果.【详解】由以及可得；即，所以，解得.故选：A2．（24-25高一下·河南·月考）已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据题设等式得出与的关系，确定的可能取值，即得所有可能取值的集合.【详解】易知，所以，因此或π，所以a的所有可能取值的集合为．故选：D．3．已知集合，若，则实数（    ）A．B．C．D．或【答案】C【分析】根据列式，由此求得的值.【详解】由得，所以或，解得.故选：C4．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，.(1)当时，求和；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）应用集合的交补运算求集合；（2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围.【详解】（1）由题设，或，则，；（2）由，且，则，当时，，即；当时，，即；所以.5．已知全集.(1)若中有四个元素，求和q的值；(2)若，求实数q的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解；（2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可.【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合，则方程有两个相等的实数解.又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4，所以只有，从而，所以.所以.（2）由知，即方程无解，所以，解得，故实数q的取值范围是.6．设集合，，全集．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)．【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是．解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是．（2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是．（3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是．7．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)条件选择见解析，.【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求；(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.【详解】（1）由题意得，．当时，，∴；（2）选择①．∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．选择②∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．选择③∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．题型九、集合中的结构不良问题1．在①或；②或这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知全集，，且_________，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】根据所选条件，先求得，进而求得.【详解】，则.若选择①，或，则.若选择②，或，则.2．（23-24高一上·福建宁德·月考）已知集合．(1)若集合，求a的取值范围．(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，得到不等式，即可求解；（2）分别选择条件①②③，根据，分和，两种情况讨论，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：当时，可得，解得，所以a的取值范围为．（2）解：选择条件①：，因，当时，，解得，此时满足；当时，要使得，则满足或，解得，所以的取值范围为.选择条件②：，可得，因为，当时，，解得，此时满足；当时，要使得，则，此时无解，所以的取值范围为．选择条件③：，因为，当时，，解得，此时满足；当时，要使得，则，解得，所以的取值范围为．3．（24-25高一上·山东青岛·月考）设全集为，集合.(1)当时，求图中阴影部分表示的集合;(2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可；（2）选择①②③，均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可.【详解】（1）由集合知，，解得或，所以，当时，结合图知.（2）选择①②③，均可得.当时，，解得;当时，或，解得或，即.综上所述，实数的取值范围是.4．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知集合，或．(1)当时，求；(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)条件选择见解析，【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；若选③，分析可得，同①.【详解】（1）解：当时，，或，所以，，因此，.（2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，；若选②，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，；若选③，由可得，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，.题型十、集合的新定义问题1．（24-25高一上·山东青岛·月考）在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解.【详解】根据题意可知集合中有两个元素，又，，所以，则.故选：A.2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数.【详解】集合的总和为：每个子集的和应为：列举所有和为且满足三分划条件的子集组合：组合一：    组合二：组合三：共种不同的分法.故选：D.3．（23-24高一上·江苏连云港·月考）对于集合，集合记作，例如，，则有：．若已知，则集合 ．【答案】【分析】根据题中规则求解即可.【详解】根据题意，集合中只有元素2，所以.故答案为：.4．（23-24高一上·江苏南京·月考）我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 .【答案】.【分析】按定义解题即可.【详解】由定义可知.故答案为：.5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集.(1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集；(2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由.【答案】(1)，集合是的恰当子集(2)，或，；理由见解析【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可.（2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可.【详解】（1）若，有，由，则，满足，集合是的恰当子集.（2）若（）是的恰当子集，则得到，由，则或当时，，此时，，满足题意，当时，，此时，，满足题意，综上可得，或，.6．（24-25高一上·海南海口·月考）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，.(1)求集合；(2)求集合；(3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)能，0或【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解；（2）根据新定义运算可得，代入即可求解；（3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解.【详解】（1）对任意的，有，，全集且，则由，得，或，或，当时，；当时，；当时，，所以.（2），由且，，得，，因此，所以.（3）由（1）（2）知，，，则，假设集合，能满足，则，或且，又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求，所以实数的值为0或.综合攻坚 能力跃升1．（23-24高一上·河北·月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ）①②③④A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果.【详解】对于①，；对于②，中解得，故；对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，，所以；对于④，.所以与M相等的集合个数有2个.故选：C.2．已知集合，则集合A的元素个数为（    ）A．9B．8C．6D．5【答案】C【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数.【详解】，共6个元素.故选：C.3．设全集，集合，，（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.【详解】由，可得，，故，故选：B4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）.A．B．C．D．【答案】D【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解.【详解】由得当时，，故选项A不正确；，当时，，故选项B不正确；当时，，故选项C不正确；因为，所以，故选项D正确.故选：D.5．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ）A．12B．15C．31D．32【答案】B【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果.【详解】∵，∴满足“，则”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.故选：B.6．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由新定义，列举计算即可；【详解】当都是偶数或都是奇数时，则或或或或或或或或；当是偶数，是奇数时，，或；当是奇数，是偶数时，，或；集合中含有个元素，它的子集个数为，故选：B7． ，，若，则实数的取值范围是（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可．【详解】已知集合，，，，①当时，满足，此时，故；②当时，因，则，解得．综上，．故选：A.8．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．或【答案】B【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论：（1）当时，，合乎题意；（2）当时，，则，因为时，解得；（3）当时，，则，因为，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.9．（24-25高一上·江苏无锡·月考）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ）A．100名B．108名C．120名D．前三个答案都不对【答案】A【分析】分别设出只参加一科，只参加两科和三科都参加的学生数，按照条件列出等式计算，可得出结果.【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，；参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，；同时参加了三门学科考试的学生数为，如图．根据题意，有，前面三个等式相加，可得．由第四个等式可得，，因此，解得．因此学生总数为．故选：A.10．（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ）A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意.【详解】解法一：一方面，取满足题意，则；另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！综上所述，正整数的最大值为7.解法二：，则，又，即若，内的数均不属于，若，则，则，又，矛盾，所以，当时，符合，所以．故选：B.11．（23-24高一上·江西吉安·期末）（多选题）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案.【详解】根据图中阴影可知，符合题意，又，∴也符合题意．故选：AC12．（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选题）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ）A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8【答案】BD【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可.【详解】由题意，，因为，所以，当时，，合题意，当时，，，因为，所以或，所以或，故．集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.故选：BD.13．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．【答案】【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可.【详解】由题意，,当时，则，则，又，所以集合.故答案为：.14．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 .【答案】【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，等价于有一个不等于3的实数解，1.当时，解为，满足题意；2.当时，只有一解时，则，解得，若，则，解得，符合题意；3.当时，且有两解但3是方程的解，故，解得；综上所述，实数取值集合为.故答案为：.15．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知集合，则满足条件的集合个数为 个．【答案】【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案.【详解】易知集合，；因为可得，又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含；满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数，所以满足条件的集合个数为个.故答案为：16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，即．由，得，得，故实数的取值范围是．故答案为：.17．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．【答案】【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可.【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）．所以，或解得，或．经检验，满足题意．所以．18．已知集合．(1)若中只有一个元素，求的值；(2)若中至多有一个元素，求的取值范围；(3)若中至少有一个元素，求的取值范围．【答案】(1)或(2)或(3)【分析】（1）分和进行求解；（2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解；（3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解.【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，方程为一元二次方程，，即，原方程的解为，符合题意．故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素．（2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素．当，即时，原方程无实数解．结合（1）知，当或时中至多有一个元素．（3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，方程为一元二次方程，由得．综上可知当时，中至少有一个元素．19．已知集合．(1)若，求实数a的值；(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．条件：①；②；③．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】解：（1）由于，所以解得．（2）若选①，由得．当时，则，解得，满足条件；当时，则解得．综上，实数a的取值范围是．若选②，．当时，，解得，满足条件：当时，或，则解得．综上，实数a的取值范围是．若选③，．当时，，解得，满足条件；当时，或，则解得．综上，实数a的取值范围是．20．已知集合，或.(1)当时，求；(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果.（2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果.【详解】（1）当时，，因为或，所以，故.（2）若选①：当时，，，成立.当时，，由可得，解得，所以.综上，的取值范围是.若选②：当时，，，成立.当时，，由可得，解得，所以.综上，的取值范围是.若选③：由可得.当时，，，成立.当时，，由可得解得，所以.综上，的取值范围是.21．（24-25高一上·山东潍坊·月考）已知集合，(1)求；(2)若定义集合，求中元素的个数.【答案】(1)(2)【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出；（2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数.【详解】（1）由题意可知，，，所以.（2）由，，可得，共种结果，由，，可得，共种结果，当或时，此时或，所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素；当时，对于中的任意一个值，都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值，所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素，所以中一共有个元素.22．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”．(1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由．(2)设集合A是“好集”，求证：若，则．(3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由．【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析(2)证明见解析(3)命题“若，则”为真命题，理由见解析【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可.【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下：因为，，，所以集合B不是“好集”．有理数集Q是“好集”，理由如下：因为，，对任意，，都有，且时，，所以有理数集Q是“好集”．（2）因为集合A是“好集”，所以．若，则，即，所以，即，命题得证．（3）命题“若，则”为真命题，理由如下：当x，y中有0或1时，显然有．当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，，所以，所以．所以由（2）可得，同理得，当或时，显然有．当或时，显然有，所以，所以，由（2）得，所以．综上得时，．23．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．(1)求集合的生成集；(2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；(3)若集合，的生成集为，求证．【答案】(1)(2)或或(3)证明见解析【分析】（1）根据定义计算即可求解；（2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可；（3），，根据作差法得出，结合，即可证明．【详解】（1）由题可知：①当时，，②当时，，③当，或时，，所以．（2）①当时，，②当时，，③当，或，时，，的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或或，解得或或（舍去）．（3）证明：，，，，，即，，又，所以，综上可得．定义名称符号闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间