北师大版（2024）九年级上册正方形的性质与判定教学ppt课件

这是一份北师大版（2024）九年级上册正方形的性质与判定教学ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了创设情境导入新课，探究新知经历过程，尝试·思考，矩形的中点四边形，菱形的中点四边形，回顾·反思，巩固练习深化提高，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
正方形的对角线相等并且互相垂直平分。
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？
提示：剪口线与折痕成 45°角即可。
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系
判断四边形是正方形有哪些方法？
1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。（定义法）
2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边（对角线互相垂直）相等。
3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角（对角线相等）。
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形。
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形。
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD，又∵AC ⊥ BD，∴△AOB ≌ △AOD（SAS），∴AB = AD，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。
【选自教材P20 随堂练习 第1题】
定理：有一个角是直角的菱形是正方形。
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形。
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90°，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。
定理：对角线相等的菱形是正方形。
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形。
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD，∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）。又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形。∴∠ABC = 90°。∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形 BECF 是正方形。
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形。∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°。又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°。
∴∠EBC = ∠ECB。∴ EB = EC。∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）。在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 180°－∠EBC －∠ECB = 180°－ 45°－ 45°= 90°。∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形 BECF 是正方形.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线，①若∠BEF = 30°，则∠A =______。②若 EF = 8 cm，则 AC =______。
你还记得三角形的中位线定理吗？
一般四边形的中点四边形
如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。
任意四边形的中点四边形是平行四边形。
【选自教材P20 随堂练习 第2题】
如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
（1）如图，四边形 ABCD 是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。
猜想：以四边形四边中点为顶点的四边形是正方形。
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为正方形。
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC 且EF = AC，同理可证 HG∥AC 且 HG = AC，EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD。∴四边形 PFQO 为平行四边形。
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°。∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°。∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
矩形的中点四边形会是什么形状？
矩形的中点四边形是菱形。
你能试着证明这个结论吗？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为菱形。
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴EF∥AC 且 EF = AC，同理可证 HG∥AC且HG = AC，EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD。∴四边形 EFGH 为平行四边形。又∵四边形 ABCD 是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）。
（2）类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？
平行四边形的中点四边形会是什么形状？
平行四边形的中点四边形是平行四边形。
你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）
平行四边形的中点四边形
菱形的中点四边形会是什么形状？
菱形的中点四边形是矩形。
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为矩形。
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD。∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形。又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1 = 90°，∠2=90°。∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）。
（3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
回顾平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的探究过程，你有哪些感悟？积累了哪些经验？
1. 在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，下列条件能判断 ABCD 是正方形的是（ ）A. OA = OC，OB = OCB. OA = OB = OC = ODC. OA = OC，OB = OD，AC = BDD. OA = OB = OC = OD，AC⊥BD
2. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 BD 延长线上的一点，且 EA = EC。（1）求证：□ABCD 是菱形；（2）若∠DAC =∠EAD +∠AED，求证：□ABCD 是正方形。
证明：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO。又∵ EA = EC，∴ EO⊥AC，即 AC⊥BD。∴ □ABCD 是菱形。
（2）∵ ∠ADO = ∠EAD + ∠AED = ∠DAC，∴ AO = DO。∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC = 2AO，BD = 2DO。∴ AC = BD。
∴ 菱形 ABCD 是正方形(对角线相等的菱形是正方形)。
3. 如图，在四边形 ABCD 中， AC⊥BD 于点 O，E，F，G，H 分别是 AD，AB，BC，CD 的中点。（1）求证：四边形 EFGH 是矩形；（2）若AC = BD，求证：四边形 EFGH 是正方形。
证明：（1） ∵ E，F，G，H 分别为 AD，AB，BC，CD 的中点。∴ EF，GH 分别是△ABD 和△CBD 的中位线，∴ EF∥BD，EF = BD，GH∥BD，GH = BD，∴ ∠1 = ∠BOC，EF GH，∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。同理，FG∥AC，EH∥AC，FG = EH = AC，∴ ∠1+∠EFG = 180°。∵AC⊥BD，∴ ∠1 =∠BOC = 90°，∴ ∠EFG = 180°－∠1 = 90°，∴ □EFGH 是矩形。
（2） ∵AC = BD，FG = AC，EF = BD，∴ EF = FG。∴ 矩形 EFGH 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
判定一个四边形是正方形的思路
四边形 + 对角线相等且互相垂直平分 → 正方形
平行四边形 + 对角线相等且互相垂直 → 正方形
菱形 + 对角线相等 → 正方形
矩形 + 对角线互相垂直 → 正方形
菱形 + 一个角是直角 → 正方形
矩形 + 一组邻边相等 → 正方形