初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定测试题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定测试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为
A．5B．C．6D．
2．如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点处.若，则的度数为
A．B．C．D．
3．如图，已知矩形中，，则（ ）

A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖．
B．对某池塘中现有鱼的数量的调查，最适合采用全面调查．
C．“任意画一个三角形，其内角和是”这个事件是必然事件．
D．对角线相等的四边形是矩形．
5．在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，明明错误B．嘉嘉错误，明明正确
C．两人都正确D．两人都错误
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD＝120°，AB＝4，则BD＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．已知中，对角线和相交于点，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点P是边上一动点（不与点B，点C重合），于点E，于点F，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，矩形的对角线相交于点，，，是的中点，，则的长为（ ）
A．16B．8C．D．
11．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，中，于点，点是的中点，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ．
14．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，则∠BAC= ．
16．如图，点是矩形的边上一点，把沿对折，使点恰好落在边上的点处．已知折痕，且，那么该矩形的周长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是 ．
三、解答题
18．如图①为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图②的几何图形，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角为.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平桌面所形成的夹角、分别为和.
（1）若书EF与光线OB平行放置且书底端点F离光线OB端点B的距离为63cm，求书EF的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）若该书与水平桌面的夹角为，当眼睛所在位置点P在EF的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm时，称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P是否在灯光照射范围内？（参考数据：，，.）
19．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
小明的做法如下：
①以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②两弧在AB上方交于点D，连接DA、DC．四边形ABCD即为所求矩形．
请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：
∵AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）填推理依据，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）填推理依据．
20．在长方形中，，，点P在线段上运动，将线段绕点B顺时针旋转至，连接，．
(1)如图1，当E点落在边上时，求的长度；
(2)如图2，在运动过程中，当线段最短时，求的度数；
(3)连接 ，当为等腰三角形时，直按写出的长度．
21．如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米（米），吊车到楼房的水平距离为7米（米），吊车车身的高为3米（米）．
(1)求楼房的高度；
(2)由于楼房附近在施工，吊车不能太靠近楼房，吊车需要向后退3米到的位置（米），如果这辆吊车的吊臂最长能伸长到米，那么这辆吊车能否完成此次任务？请说明理由．（图中的点都在同一平面内，四边形和四边形均为平行四边形，且A、C、E三点共线，G、D、F三点共线，，）
22．如图，在葫芦河的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面CF上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°．

(1)求DE的值．
(2)求楼AB的高度．
23．如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接，交于F．
(1)求证：；
(2)如果，，求菱形的面积．
24．如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E，求证：∠EAB＝∠CAB．
参考答案：
1．B
【详解】
过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG−DM=3−2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中,
EM====.
故选B.
点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
2．C
【详解】试题分析：根据矩形的性质可得，即可得到∠，由∠BAE=90°可得∠BEA+∠ABE=90°，再结合即可求得结果.
∵矩形纸片ABCD沿着BE折叠
∴，∠BAE=90°
∴∠，∠BEA+∠ABE=90°
∴∠
∵
∴
故选C.
考点：折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质
点评：解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠前后图形的对应边相等，对应角相等.
3．D
【分析】根据矩形的性质得，进而证是等边三角形，即可得解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定及性质．熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，三角形内角和以及矩形的判定分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，故此选项错误；
、对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
、“任意画一个三角形，其内角和是”这个事件是必然事件，故此选项正确；
、对角线相等且平分的的四边形是矩形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的意义、随机事件，全面调查与抽样调查，三角形内角和，矩形的判定与性质，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
5．C
【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识，根据作图步骤和矩形的判定分别进行证明即可.
【详解】解：两人都正确，理由如下：
嘉嘉：由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，故嘉嘉的作图正确；
明明：由作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，故明明的作图正确；
故选：C
6．D
【分析】先求出∠ODA＝30°，再求出BD的长度即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOD＝120°，
∴AC＝BD，∠OAD＝∠ODA＝（180°−120°）÷2＝30°，
又∵AB＝4，
∴BD＝2AB＝2×4＝8，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．
7．B
【分析】作于点，连接，则，由平行四边形的性质得，从而得到，进而得出，计算出得到是等边三角形，得到，再证明，得到，从而得到，是等腰直角三角形，即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点，连接，
，
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，根据矩形的性质和平移的性质，可以得到的长，然后即可求得四边形的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由题意可知：，
∴，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故选：．
9．A
【分析】连接，根据矩形的性质，得到，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可．
【详解】连接，
∵菱形的对角线相交于点O，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最小，故最小，
∵菱形，，且，，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴，
故选A．

【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．
10．A
【分析】由矩形的性质可知OB=OC，结合题意可知EB垂直平分线段OC，从而得到OB=BC，△OBC为等边三角形，∠OBC=60°，∠OBF=30°，再进一步推出OB平分∠EBF，结合角平分线的性质得到OE=CE=4，再结合矩形的基本性质即可得到结论．
【详解】解：由矩形的性质可知，OB=OC，
∵，是的中点，
∴EB垂直平分线段OC，
∴OB=BC，
∴△OBC为等边三角形，∠OBC=60°，
则∠OBF=30°，
由“三线合一”可知，∠OBE=∠CBE=30°，
∴OB平分∠EBF，
∵，
∴OE=OF，
∵，
∴OE=OF=4，
∴OC=8，
∴OB=8，BD=2OB=16，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及角平分线的判定与性质等，熟练掌握基本图形的判定与性质，灵活综合运用是解题关键．
11．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由菱形的性质得到 点O为的中点，则可得到，再根据直角三角形的性质得到，则可得到，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴ 点O为的中点，
∴，
∵，点O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
12．A
【分析】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，平行线的判定．和不一定相等，因此和不一定垂直，由等腰三角形的性质推出D是BC中点，，由三角形中位线定理推出，由平行线的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到．
【详解】解：A.∵E是的中点，若，
∴垂直平分，
∴，但和不一定相等，
∴和不一定垂直，
故A符合题意；
B.∵．
∴D是中点，，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴，
故B不符合题意；
C.∵，
∴，
故C不符合题意；
D.∵，E是中点，
∴，
故D不符合题意．
故选：A．
13．
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出．
【详解】解：在中，，，
则，
在中，，，是斜边的中点，
则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可．
【详解】解：在中，为的中点，，
，
为的中位线，，
，
，
故答案为：1．
15．60°
【分析】利用矩形的性质可得∠ABC=90°，BO=CO，易得∠OBC=∠OCB，易得∠BAC．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，BO=CO，
∵∠BOC=120°，
∴∠OBC=∠OCB==30°，
∴在Rt△ABC中，
∠BAC=180°-90°-30°=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，利用矩形的性质和三角形的内角和定理是解答此题的关键．
16．96
【分析】分别设CE＝4x，AD＝y，在Rt△ADE和Rt△ABF中用勾股定理列方程，构成方程组求解.
【详解】设CE＝4x(x＞0)，AD＝y(y＞0)，则CF＝3x，EF＝DE＝5x，AF＝AD＝y，BF＝y－3x，AB＝CD＝9x，
因为；；
所以，解得.
所以CD＝9x＝18，AD＝30，
则矩形ABCD的周长为2(30＋18)＝96.
故答案为96.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的运用，在矩形的折叠问题中，一般根据轴对称的性质，结合勾股定理列方程求得相关线段的长.
17．
【分析】根据勾股定理求出AB，再由线段垂直平分线的性质及直角三角形斜边中线的性质求CD即可；
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴
根据题意，DE垂直平分AB，
∴AD=BD
∴D是AB的中点，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
18．（1）24.4cm；（2）最佳视点P在灯光照射范围内，理由见解析.
【分析】（1）先利用正弦值求出OC的长，再利用正切值求出BC的长，然后根据平行线的性质可得，最后在中，利用余弦值即可得；
（2）如图（见解析），先利用矩形的判定定理与性质、直角三角形的性质求出PG、GH、CQ、QH的长，从而可知PH和NH的长，即可得出答案.
【详解】（1）在中，
在中，
点F离光线OB端点B的距离为63cm，即
答：书EF的长度约为；
（2）如图，设D为EF的中点，于点D，过点P作于点H，延长HP交OB于点N，过点D作于点G，作于点Q，则四边形DGHQ为矩形
由（1）及题意知，
，，
又
，即
最佳视点P在灯光照射范围内.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定定理与性质，掌握三角函数值的计算方法是解题关键.
错因分析 中等题.失分原因：①未能读懂题意，不能将题干信息转化为数学知识；②不会构造有效的直角三角形；③对锐角三角函数的应用不熟悉.
19．(1)见解析
(2)两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】（1）根据作图过程进行作图即可．
（2）根据平行四边形和矩形的判定定理可得出答案．
【详解】（1）解：如图．
（2）证明：∵AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形和矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解答本题的关键．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据四边形是长方形，，得，，根据将线段绕点B顺时针旋转至得，，则，设，则，在中，关根据勾股定理得计算得，则，，即可得；
（2）以为边在直线的右侧作等边三角形，连接交于点G，则，根据，得是等边三角形，即可得，根据角之间的关系得，利用证明，则，，当点E在经过点F且与垂直的直线上运动，当时，线段最短，根据得，根据得，则，即，，，根据，，得，则，，则，即可得；
（3）分情况讨论，当点P与点A重合，作于点H，则，根据，得，利用证明，则，时等腰三角形，根据得，根据勾股定理得，则，即可得，当是等腰三角形，且，即可得．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，
∵将线段绕点B顺时针旋转至，
∴，，
∴，
∴设，则，
在中，关根据勾股定理得，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，以为边在直线的右侧作等边三角形，连接交于点G，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点E在经过点F且与垂直的直线上运动，当时，线段最短，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3）的长度为或，理由如下：
解：如图所示，点P与点A重合，作于点H，
则，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，是等腰三角形，且，
∴，
综上，的长度为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，掌握这些知识点，添加辅助线是解题的关键，此题难度较大．
21．(1)米
(2)这辆吊车能完成此次任务，见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，四边形是矩形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，由，进行判断作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，四边形是平行四边形，
，
则四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，米，
∴（米），
∴楼房的高度为米；
（2）解：这辆吊车能完成此次任务，理由如下：
同（1）知，四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴这辆吊车能完成此次任务．
22．(1)；
(2)楼AB的高度为米．
【分析】本题考查了解三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质．
（1）由，，解得；
（2）过点D作于G，过点C作于H，则四边形、四边形、四边形都是矩形， ，设，则，，在中，，代入即可得出结果．
【详解】（1）解：在中，
∵，，，
∴，
解得：.
（2）解：如图，过点D作于G，过点C作于H，

∵，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，，
在中，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解．
答：楼AB的高度为米．
23．(1)见解析
(2)216
【分析】（1）通过证明四边形是矩形来推知；
（2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答．
【详解】（1）解：证明：四边形是菱形，
．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
；
（2）由（1）知，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积是：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理矩形的判定与性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据矩形的性质得到OB=OA,得到∠OAB＝∠OBA,再根据AE∥BD，得到∠EAB＝∠OBA，故可求解．
【详解】如图，矩形ABCD对角线交于O点
∴OB=OA,
∴∠OAB＝∠OBA
∵AE∥BD
∴∠EAB＝∠OBA，
∴∠EAB＝∠CAB．
【点睛】此题主要考查矩形的性质证明，解题的关键是熟知矩形的对角线互相平分且相等．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
C
C
D
B
B
A
A
题号
11
12








答案
C
A