2021学年4 用因式分解法求解一元二次方程课时练习

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2.4用因式分解法求解一元二次方程习题
分层训练提分要义
【基础题】
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
2．方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程求解．
【详解】
解：


∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键．
3．一元二次方程x2＝3x的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3
【答案】C
【分析】
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：方程移项得：x2﹣3x＝0，
分解因式得：x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
4．若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（　　）
A．2 B．0 C．2或﹣2 D．0或2
【答案】D
【分析】
先列方程x2=2x，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：根据题意得x2＝2x，
移项得x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
5．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【分析】
将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：，
，
或，
解得：，，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
分解因式，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
，
，
，
或．
即，．
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，本题利用因式分解法求解是解题关键．
7．方程的根为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因式分解法解方程．
【详解】
解：，
，
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是关键．
8．方程的解是（ ）．
A．x1=x2=0 B．x1=x2=1 C．x1=0, x2=1 D．x1=0, x2=-1
【答案】D
【分析】
利用提公因式法解方程，即可得到答案.
【详解】
解：∵，
∴，
∴或；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握提公因式法解方程是解题的关键.
9．关于x一元二次方程的一个根为1，p=（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．-1
【答案】C
【解析】
∵将x=1代入原方可得p2﹣2p+1=0，解得p=1．
10．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【答案】B
【分析】
把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】
解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．
11．关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A．−3或1 B．1 C．−3 D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．
【详解】
∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0,
∴k=1或k=-3, 且k+3≠0,
∴k=1,
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键．
12．方程的根是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：∵（x1）（x+3）=x1，
∴（x1）（x+3）（x1）=0，
∴（x1）（x+2）=0，
则x1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
【答案】C
【分析】
解方程，根据方程根的情况判断即可．
【详解】
解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，
∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，
整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
故方程有两个正根．
答案：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
14．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
【答案】D
【分析】
先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【详解】
解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．


【中档题】
15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由题意可设，则有，进而可得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，
∴AH=EM，HM=AE，
∵，
∴，
由可设，
∴，
∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、一元二次方程的解法及勾股定理，熟练掌握利用正方形的性质、勾股定理及方程思想进行求解问题是解题的关键．
17．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用判别式的意义得到m＞−，再根据根与系数的关系的，，则由可得，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】
解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞−，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞−，
∴m的值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键．
18．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．
【详解】
解：把代入原方程得：．
故选：．
【点睛】
用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
19．关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（ ）
A．当方程有实数根时
B．当时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当时，方程的实数根为，
D．若，为方程的两个实数根，则有
【答案】B
【分析】
对一元二次方程进行变形，化为的形式，可知一个数的平方大于等于零，即可求出方程有解时k的取值范围，再根据不同的k值进行方程求解．
【详解】
解析：原方程可以化为，当时，方程有实数解，即．
因此当时，方程没有实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
当时，，，．
当时，由可以求得，
则有.
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程有解时以及一元二次方程的解法的相关知识．
20．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
分三种情况讨论：当在的两侧时，设 则当在的右侧时，设 当都在的左侧时，设 再利用勾股定理与平方差公式求解，从而可得答案．
【详解】
解：如图，当在的两侧时，设 则

矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，
四边形 四边形都是矩形，


由勾股定理得：






整理得：


如图，当在的右侧时，设

同理可得：

解得： 不合题意舍去，
如图，当都在的左侧时，设

同理可得：

解得： 不合题意舍去，
综上：满足条件的点只有个，
故选：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，平方差公式的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
21．若关于x的一元二次方程的一个根为1，则实数k的值为________．
【答案】2
【详解】
把代入（，得，
整理，得，解得．
当时，，不合题意，舍去，
的值为2．
22．若a满足，则__________．
【答案】3
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简出最简结果，再根据解一元二次方程得出a=-1或a=2，根据分式有意义的条件代入a值计算即可得答案．
【详解】

=
=
=，
∵，
∴或，
∵时0，
∴无意义，舍去，
∴，
当a=2时，=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查分式的混合运算和解一元二次方程，注意分式分母不为0的条件并熟练掌握运算法则是解题关键．
23．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________．
【答案】6或7．
【分析】
当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【详解】
解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
此时该方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
此时三角形的三边为4，4，2，符合题意；
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
此时该方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
此时三角形的三边为3，3，4，符合题意，
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：6或7．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．
24．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣2；（2）x1＝3，x2＝1
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）把（2x﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，
（x﹣9）（x+2）＝0，
∴x﹣9＝0或x+2＝0，
∴x1＝9，x2＝﹣2；
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，
[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，
∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，
∴x1＝3，x2＝1.
【点睛】
本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的关键．
25．解方程：
【答案】.
【分析】
先通过两边平方的形式去根号，将方程化成整式方程为，化简后得到一元二次方程，再利用十字相乘法因式分解即可得出方程的解.
【详解】
解：方程两边同时平方得：

化简得：

因式分解得：

解得：
，.
检验：
将代入原方程可得，是原方程的解；
将代入原方程可得，，不成立，不是原方程的解；
故答案为：.
【点睛】
本题重点考查一元二次方程的解法；当题目中的方式不是整式方程时，要先通过去根号或去分母的方式先将方程转化成整式方程再去求解整式方程，此类方程注意整式方程得出的根要代入原方程检验；一元二次方程的戒饭，优先考虑直接开平方或因式分解法，再考虑公式法或配方法.
【综合题】
26．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】
（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【详解】
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，

∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
27．先化简，再求值，其中是方程的解．
【答案】；2
【分析】
先将括号外利用完全平方式计算，括号内通分化简，再将除法改为乘法，最后结合平方差公式约分即可化简．解出一元二次方程的解，再利用使分式有意义的条件，确定x的值，最后将x的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】
解：原式



∵，即，
∴解得：，，
∵当时，原分式无意义，
∴．
∴当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，使分式有意义的条件以及解一元二次方程．掌握分式的运算法则和解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
28．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）；（2）当时，方程的两个整根为，
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．
【详解】
解：（1）由题意，，
即．
解得，．
（2）∵，
由题意，是平方数，
设，
原方程为，
，
或，
解得，，．
∴当时，方程的两个整数根为，．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解题的关键．