初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法课堂检测

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1．同学们在计算 56+29×18时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（ ）
A．56×18×29×18 B．56×29+29×18 C．56×18+29×18 D．56×18+29
【答案】C
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键.
根据乘法分配律计算即可.
【详解】解：56+29×18
=56×18+29×18
故选：C.
2．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ）
A．一定是负数B．一定是正数C．等于0D．以上都不是
【答案】A
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：a÷b=a×1b．
根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案．
【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，
根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．−3.5÷78×−34=−3B．−2÷3×13=−2
C．−6÷(−4)×56=54D．−130÷16÷15=−1
【答案】C
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键．
根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、−3.5÷78×−34=−3.5×87×−34=3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、−2÷3×13=−2×13×13=−29，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、−6÷(−4)×56=−6×(−14)×56=54，计算正确，故此选项符合题意；
D、−130÷16÷15=−130÷16×5=−130÷56=−130×65=−125，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．数m的倒数的相反数为34，则数m为（ ）
A．−43B．43C．−34D．34
【答案】A
【知识点】相反数的定义、倒数
【分析】本题考查了倒数和相反数，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”和“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．根据倒数和相反数的概念求解即可．
【详解】解：34的相反数是−34，
∴−34的倒数是−43．
故选：A．
5．下列说法正确的有（ ）
①最大的负整数是−1；②有理数分为正有理数和负有理数；③数轴上表示有理数−x的点一定在原点的左边；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查数轴、有理数的定义、有理数的乘法法则，根据数轴、有理数的定义、有理数的乘法法则进行判断即可．
【详解】解：最大的负整数是−1，故①正确；
有理数分为正有理数和负有理数和0，故②错误；
当x<0时，数轴上表示有理数−x的点在原点的右边，故③错误；
几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故④错误；
即正确的有1个，
故选：A．
6．与13÷−2的计算结果相同的是（ ）．
A．−2÷13B．23÷−1C．13×12D．−12×13
【答案】D
【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查了有理数乘除运算，掌握有理数乘法和除法运算法则成为解题的关键．
先求出13÷−2的值，然后再求各项的值即可解答．
【详解】解：13÷−2=13×−12=−16，
A. −2÷13=−2×3=−6，不符合题意；
B. 23÷−1=−23，不符合题意；
C. 13×12=16，不符合题意；
D. −12×13=−16，符合题意．
故选D．
7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ）
①a+b>0；②a−b<0；③ab>0；④ab<0；⑤−aA．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置，判定式子的正，负，根据根据数轴可知：a<0【详解】解：根据数轴可知：a<0∴①a+b<0，不成立，
②a−b<0，成立，
③ab<0，不成立，
④ab<0，成立，
⑤−a>b，不成立，
式子成立的有②④，
故选：C．
8．若a是非零自然数，则下面（ ）算式结果最小
A．a×25B．a÷25C．a×79D．a÷79
【答案】A
【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算
【分析】此题主要考查了有理数乘法、除法的运算方法，有理数大小比较，根据乘法、除法的运算方法，分别判断出每个算式的结果与a的大小关系，即可推得算式中的计算结果最小的是哪个算式．
【详解】解：a是非零自然数，
∴a×25a，a×79a，
∵79>25，
∴a×25所以算式中的计算结果最小的是：a×25，
故选：A．
9．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入x=1，则最后输出的结果是（ ）
A．11B．−11C．13D．−13
【答案】C
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键．
利用程序图进行运算即可解答．
【详解】解：当x=1时，−4x−−1=−4×1+1=−3<10，
∴当x=−3时，−4x−−1=−4×−3+1=13>10，符合要求，
∴最后输出的结果是：13．
故选：C．
10．已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abc<0，则aa+bb+cc的值为（ ）
A．1B．−1或−3C．1或−3D．−1或3
【答案】A
【知识点】有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算、有理数加法运算、绝对值非负性
【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】∵abc<0
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵a+b+c=0
∴a，b，c的符号为1负2正
令a<0，b>0，c>0
∴a=−a，b=b，c=c
∴aa+bb+cc =−1+1+1=1
故选：A．
二、填空题
11．若 £×−15的运算结果为正数，则 £ 内的数字可以为 ．
【答案】−5
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0．据此求解即可．
【详解】解：∵□×−15的运算结果为正数，
∴□内的数字为负数，
∴□内的数字可以为−5．
12．小明与小刚规定了一种新运算△：a△b=3a−2b．小明计算出2△5=−4，请你帮小刚计算2△−5= ．
【答案】16
【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查有理数的运算，根据新运算的法则，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：2△−5=3×2−2×−5=16，
故答案为：16．
13．如果a+2+b−4=0，则ab的值为 ．
【答案】−8
【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算
【分析】此题考查了有理数的乘法及绝对值，根据绝对值的非负性求出a与b的值，即可求出ab的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵a+2+b−4=0，
∴a+2=0，b−4=0，
则a=−2，b=4，
∴ab=−2×4=−8
故答案为：−8．
14．已知ab<0，则a4a−b2b+−ab4ab= ．
【答案】12或−1
【知识点】化简绝对值、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数的乘法运算，由ab<0得到a、b异号，进而分两种情况进行求解即可得到结果，掌握去绝对值符号运算是解题的关键．
【详解】解：∵ab<0，
∴a、b异号，
当a>0，b<0时，
原式=a4a−−b2b+−ab4ab，
=14+12−14，
=12；
当a<0，b>0时，
原式=−a4a−b2b+−ab4ab，
=−14−12−14，
=−1；
∴a4a−b2b+−ab4ab= 12或−1，
故答案为：12或−1．
15．下列结论：
①若x=−3，则x=±3；
②若−x=−3，则x=3；
③若x=y，则x=y；
④若x+y=0，则xy=1；
⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+cc−abcabc的值为2或−2．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①⑤/⑤①
【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、化简绝对值
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若x=−3，则x=±3，正确，不符合题意；
②若−x=−3，则x=±3，原结论不正确，符合题意；
③若x=y，则x=±y，原结论不正确，符合题意；
④若x+y=0，当y≠0时，则xy=1，原结论不正确，符合题意；
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，
∴a、b、c有四种情形：a<0，b<0，c<0或a<0，b>0，c<0或a<0，b>0，c>0或a<0，b<0，c>0，
当a<0，b<0，c<0时，原式=−1−1−1−−1=−2；
当a<0，b>0，c<0时，原式=−1+1−1−1=−2，
当a<0，b>0，c>0时，原式=−1+1+1−−1=2，
当a<0，b<0，c>0时，原式=−1−1+1−1=−2．
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+cc−abcabc的值为2或−2．正确，不符合题意；
故答案为：①⑤．
三、解答题
16．计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
(3)−72×−23×−35÷−815．
【答案】(1)18
(2)−5
(3)54
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．
（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；
（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；
（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．
【详解】（1）解：−3÷−134×0.75÷−37×−6
=3×47×34×73×6
=18；
（2）−15×−0.1÷125×−10
=−15×110×25×10
=−5；
（3）−72×−23×−35÷−815
=72×23×35×158
=48×98
=54．
17．学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算691314÷−17，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法：
小刚：原式=97914×−7=−685314=−48912；
小聪：原式=69+1314×−7=−69×7−1314×7=−48912．
(1)以上两种解法，你认为 （填入名）的解法比较简便；
(2)你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程；
(3)你能用简便方法计算993435÷−15吗？如果能，请写出解答过程．
【答案】(1)小聪
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合计算：
（1）观察两名同学的解法，找出比较简便的即可；
（2）把原式变形为70−114×−7，再利用乘法分配律求解即可；
（3）把原式变形为100−135×−5，再利用乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：以上两种解法，认为小聪的解法比较简便；
故答案为：小聪；
（2）解：原式=70−114×−7
=−70×7+114×7
=−490+12
=−48912；
（3）解：993435÷−15
=100−135×−5
=−100×5+135×5
=−500+17
=−49967．
18．阅读下面的解题过程：
计算：(−15)÷13−12×6．
解：原式=(−15)÷−16×6 （第一步）
=(−15)÷(−1) （第二步）
=−15 （第三步）
回答：
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______．
(2)把正确的解题过程写出来．
【答案】(1)运算顺序错误；符号错误
(2)见解析
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
（1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误．
（2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．
【详解】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误，
故答案为：运算顺序错误；符号错误．
（2）解：(−15)÷13−12×6
=(−15)÷−16×6
=(−15)×(−6)×6
=540．
19．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
c+b 0，ac 0，abc 0，ab+c 0.
（2）求代数式aa+abab+abcabc的值．
【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．
【知识点】有理数的除法运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】（1）利用有理数的加法和乘法判断式子的符号，即可得到；
（2）先去绝对值，然后合并即可．
【详解】由数轴可知：bc
（1）c+b<0，ac<0，abc>0，ab+c>0
故答案为＜，＜，＞，＞；
（2）aa+abab+abcabc=−aa+abab+abcabc=−1+1+1=1；
故答案为−1．
20．如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为118，可知爷爷的年龄；
【详解】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）
如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．