初中人教版（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系表格教案及反思

这是一份初中人教版（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系表格教案及反思，共7页。教案主要包含了方法总结，针对训练，课堂小结，知识网络等内容，欢迎下载使用。
课题
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
授课人
教学目标
1.（2022新课标）熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
4.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.
教学重点
一元二次方程根与系数的关系及其推导过程.
教学难点
一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用.
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
情境导入
在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.
学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.
探究新知
一元二次方程根与系数的关系
1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
2x2－5x－12＝0
4
－eq \f(3,2)
eq \f(5,2)
－6
x2＋2x＋1＝0
－1
－1
－2
1
x2＋2x－1＝0
－1＋eq \r(2)
－1－eq \r(2)
－2
－1
（1）2x2－5x－12＝0；（2）x2＋2x＋1＝0；
（3）x2＋2x－1＝0.
思考：观察一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？
当二次项系数是1时，两根之和为负的一次项系数，两根之积为常数项；当二次项系数不为1时，两根之和为负的一次项系数除以二次项系数，两根之积为常数项除以二次项系数.
运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1＋x2＝ eq \f(3,2) ，x1·x2＝ －1 .
思考：如何证明以上发现的规律呢？
2.论证结论：教师与学生共同整理证明过程：
证明：当Δ>0时，由求根公式得
x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)， x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)，
所以x1＋x2＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq \f(2b,2a)＝－eq \f(b,a)，
x1x2＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)
＝eq \f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq \f(c,a)；
当Δ＝0时，x1＝x2＝－eq \f(b,2a)，所以x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
归纳：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.
通过问题引发学生思考，引导学生探究.
通过探究，总结一元二次方程的根与系数的关系.
典例精析
【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
（1） ；
（2） ；
（3）
【解】（1）∵，
∴，，，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，；
（3）∵，即
∴，，，
∴，．
【方法总结】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入．
【针对训练】已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则1a＋1b的值是（ ）
A．32B．−32C．23D．−23
【解析】∵a2－6a＋4＝0和b2－6b＋4＝0两个等式的形式相同，且a≠b，
∴a，b可以看成是方程x2－6x＋4＝0的两个根，
∴a＋b＝6，ab＝4，
∴1a＋1b＝bab＋aab＝a+bab＝32．
答案：A.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
通过例题，加强一元二次方程的根与系数的关系的应用，发展计算能力.
随堂检测
1．关于x的方程x2＋px＋q＝0的根为x1＝1＋n，x2＝1－n，则p＝______，q＝______．
答案：-2 -1.
2．已知方程5x2＋kx－6＝0的一根是2，则另一根是______，k＝______．
答案：-35 -7
3．求下列方程的两根x1，x2的和与积．
（1）x2－3x＋2＝0；
（2）x2＋x＝5x＋6
解：（1）x1＋x2＝3，
x1x2＝2．
（2）化简得x2－4x－6＝0，
则x1＋x2＝4，x1x2＝－6．
4．x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
（1）1x1+1x2；（2）x12+x22.
解：∵x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，
则x1＋x2＝5，x1x2＝－7．
（1）1x1+1x2=x1+x2x1x2=5−7=-57.
（2）x12+x22=x12+2x1x2+x22−2x1x2
=x1+x22−2x1x2
=52-2×（-7）
=39.
5．已知关于x的方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根之和等于两根之积，求m的值．
解：设方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根为x1，x2．
∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2．
根据题意得m2＝2m＋3，解得m1＝3，m2＝－1．
当m＝3时，原方程为x2－9x＋9＝0，b2－4ac＝45＞0，方程有实数根．
当m＝－1时，原方程为x2－x＋1＝0，b2－4ac＝－3＜0，方程无实数根，此m值舍去．
∴m的值为3．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结
【课堂小结】
引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？
1. 方法层面：学习了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），体会“先求根再归纳规律”的推导方法，以及“整体代入”的解题思想，无需单独求出方程两个根的具体数值，就能直接利用系数关系快速计算根的和、积以及相关代数式的值，感受数学规律的简洁性与实用性，突破传统先解方程再计算的常规思路.
2. 知识内容层面：掌握一元二次方程根与系数的核心关系，明确适用前提与核心公式，梳理完整应用逻辑：
前提条件：方程必须是一元二次方程，且方程有实数根，也就是根的判别式大于等于0.
核心公式（韦达定理）：设方程的两个实数根为为x1和x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)，则两根之和x1＋x2＝－eq \f(b,a)，两根之积x1x2＝eq \f(c,a).
推导方式：由一元二次方程求根公式得出两个根，再通过代数运算相加、相乘，化简后归纳得出系数与根的和、积规律，是公式法的延伸应用.
3. 概念联系与区别
明确根与系数关系和前期知识的紧密关联，厘清核心易错点：
与求根公式、判别式的联系：判别式是根与系数的关系成立的前提，只有判别式大于等于0时，两根和与积的关系才有实数意义；根与系数的关系是求根公式的规律总结，二者相辅相成，求根公式侧重求具体根，根与系数的关系侧重整体运算.
与方程解法的区别：解方程是求出根的具体数值，属于直接求解；根与系数的关系是利用系数间接研究根的数量关系，属于整体代换，步骤更简便，适合无需具体根的题型.
核心易错点：必须牢记a≠0和Δ≥0两个前提，忽略容易导致参数取值错误；两根之和公式中极易漏掉负号，需要重点区分.
【知识网络】
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．
巩固所学知识，加深对一元二次方程的根与系数的关系的灵活运用.
作业布置
《课时训练》p15—p16练习题
板书设计
一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
2.应用
教学反思