初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质表格教案设计

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26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质
课题
26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质
授课人
教学目标
1.知道二次函数的图象是一条抛物线.
2.（2022新课标）能画二次函数 y=ax2 的图象.通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题.
3.（2022新课标）通过图象了解二次函数 y=ax2 的性质.
4.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式y＝ax2(a≠0)与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题.
教学重点
画出二次函数y＝x2的图象，根据函数的图象分析其性质.
教学难点
用描点法准确画出二次函数的图象.
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
情境导入
如图，你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么那么准吗？用篮球投篮，观察篮球的运动路线，思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律，怎样用数学规律来描述？
通过创设情境，引导学生列出二次函数的解析式，复习二次函数概念，为后面学习新课做好铺垫
探究新知
二次函数y=ax2的图象
问题：如何画出二次函数y＝x2的图象呢？
师生活动：师生共同讨论，得到画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
①列表：
问题：自变量该如何取值呢？
学生交流、讨论，得到结论．
二次函数y＝x2中自变量的取值范围是全体实数，而且当自变量互为相反数时，对应的函数值相等，因此，以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
②描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来.
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状.
师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导.
二次函数y＝x2的图象总结：二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮或掷铅球时球在空中所经过的路线，这条曲线叫做抛物线．抛物线开口方向向上或向下，是轴对称图形，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
思考：在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y＝eq \f(1,2)x2和y＝2x2的图象，并观察图象有哪些特征.
师生活动：请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象，完成后观察并分组讨论图象之间的异同点，总结出当a>0时，二次函数y＝ax2的图象特征.
探究二次函数y＝－x2，y＝－eq \f(1,2)x2和y＝－2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点.
列表：
x
…
－4
-3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝-x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y=－ EQ \F(1,2) x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…
…
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－ EQ \F(1,2) x2， y＝－2x2的二次项系数a＜0，顶点都是原点，对称轴是_y轴_，顶点是抛物线的最高点（填“高”或“低”） ．
师生活动：教师进行画图演示，学生观察三个函数图象，并比较异同，独自总结规律．教师进行个别提问，学生独立作答，师生共同确定规律.
3.总结归纳，形成规律
总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的特征.
学生独立归纳二次函数y＝ax2的图象特征，并填表：
二次函数
y＝ax2
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
a>0
向上
y轴
（0,0）
y轴右边减，左边增
最小值
a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小.
通过具体事例，让学生画出图象，启发学生观察，思考，归纳出二次函数y＝x2的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生解决问题的能力。
此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的图象和性质，达到真正理解并掌握的目的.
典例精析
例1（教材p34例1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝ EQ \F(1,2) x2，y＝x2，y＝2x2的图象．
【解】列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝ EQ \F(1,2) x2
…
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…
描点、连线
【归纳】抛物线y＝ EQ \F(1,2) x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a__＞_____0；顶点都是原点；
对称轴是y轴；顶点是抛物线的最_低点（填“高”或“低”）．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。
随堂检测
1．关于x的二次函数y＝－3x2，下列结论：
①图象的开口向下；②顶点是(0，0)；③图象有最低点；④当x＜0时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C.
2．抛物线y＝0.5x2，y＝－3x2，y＝x2的开口最大的是（ ）
A．y＝0.5x2 B．y＝－3x2
C．y＝x2 D．无法确定
答案：A.
3.若抛物线y＝ax2(a ≠ 0)，过点(－1，2).
(1)则a的值是 .
(2)对称轴是 ，开口向上.
(3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最小值．抛物线在x轴的 方(除顶点外).
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1