初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系第3课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系第3课时教学设计，共12页。

典案二 导学设计
学习目标：
1.使学生掌握列方程解应用题中写“关系式”及找相等关系列方程方法；
2.使学生理解列方程实质在于会用含未知数的代数式表示题目里的关系式；
3.采用对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用的能力．
重点和难点：
认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是重点也是难点.
学习过程：
一、创设情境
1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用．
2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：
3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样．我们先来解决§22.1的问题1，然后总结一些规律或应注意事项．
二、探究归纳
例1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
分析 我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地宽为x米，不
难列出方程：
三、实践应用
例2 如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？
分析 此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．
解法1 如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．
纵向的路面面积为______．
所列的方程是不是 32×20-(32x＋20x)＝540？
启发学生思考，务必把这一点弄明白！
解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
如图3，设路宽为x米，
耕地矩形的长(横向)为______．
耕地矩形的宽(纵向)为______．
例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．
分析 设截去正方形的边长为x厘米后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
练习：
1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到0.1厘米）.
2.竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式,其中重力加速度g以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米?
四、归纳小结
1.列方程解应用题的步骤是：
2.面积问题常要用到割、补、运动等技法．例2中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略，解法2采用了运动的办法，是一种灵活解题的能力．
总之：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．
五、作业
1.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到0.1米）.
2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较适合?
3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米，求原正方形广场的边长（精确到0.1米）．
4.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米，求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度．
课题
第3课时 几何图形问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.能根据面积问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
数学思考
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.
问题解决
通过解决封面设计的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学重点
列一元二次方程解有关面积问题的应用题.
教学难点
发现面积问题中的等量关系.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.通过上节课的学习，大家学习到了哪些知识和方法？
教师提出问题，学生回忆，选一名同学作答，其他同学补充.
教师应重点关注：
①学生对列方程解应用题的步骤是否清楚；
②学生能否说出每一步的关键和应注意的问题.
2.关于几何图形的体积、面积和周长，你知道哪些常见图形的计算公式？分别是什么？
下面我们用图形的一些计算公式建立数学模型，解决一些涉及几何图形的实际问题.
教师板书：实际问题与一元二次方程.
既为学生创设一种回忆、思考的情景，又是自然的导入，为本课的探究活动做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
图21－3－12
如图21－3－12，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
问题：
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点.
利用生活中常见的问题，激发学生的探究欲望，有利于学生主动参与，感受到数学来源于生活，应用于生活.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
教师提出问题（1），学生分析，请一名同学回答，教师在题目中指出数量关系；
教师提出问题（2），学生思考，请一名同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7.
教师提出问题（3），学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中，设左、右边衬和上、下边衬的宽分别为7x cm和9x cm，教师要配合图形的平移加以电脑演示.
教师提出问题，学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题.
在活动中，教师应注意：
（1）学生对几何图形的分析能力；
（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解一元二次方程的能力；
（5）学生回答问题时的语言表达是否准确.
1.重视培养学生读题和审题的能力.
2.把实际问题符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.
3.培养学生树立方程意识，渗透方程思想.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
师生活动：教师引导学生进行审题，确定好问题类型，然后指导学生按照图形面积公式进行解答.
图21－3－13
学生自主设未知数并列方程进行解答，教师做好点评和纠正.
变式练习：用总长10 m的铝合金材料做一个如图21－3－13所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52 m2（材料的厚度忽略不计）.若设小正方形的边长为x m，下列方程符合题意的是（ ）
A.2x（10－7x）＝3.52 B.2x·eq \f(10－7x,2)＝3.52
C.2x（x＋eq \f(10－7x,2)）＝3.52 D.2x2＋2x（10－9x）＝3.52
应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.
【拓展提升】
例2 如图21－3－14，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横、纵路的宽度之比为3∶2.若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
教师提出问题：
图21－3－14
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）由这些数量关系还能得出什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？
（3）有什么方法使本题易于解决？
教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法，并适时点拨、提示，指导学生进行解答.
拓展提升环节，学生通过探究与讨论，感受了将题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的矩形，a的值不可能是（ D ）
A.20 B.40 C.100 D.120
2.如图21－3－15，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为（ A ）
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米

图21－3－15 图21－3－16
3.图21－3－16是矩形养鸡场的平面示意图，其中一面靠墙，另外三面用竹篱笆围成.若竹篱笆总长为35 m，所围矩形养鸡场的面积为150 m2，则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少？
4.有一块长28 cm、宽20 cm的矩形纸片，在它的四角各截去一个相同的小正方形，然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，若使长方体盒子的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
1.课堂总结：
（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
（2）本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师总结：面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程.
2.布置作业：
教材第21～22页习题21.3第3，5，9题.
指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的环节中，由于教材问题设置较为复杂，所以教师做好必要的引导是关键，帮助学生分析图形之间的比例关系，使学生清晰地认识问题；在课堂训练的环节中，学生能够顺利地解答，实现了高效课堂.
②[讲授效果反思]
引导学生注意：
（1）面积问题考虑利用面积公式列方程；
（2）复杂图形的面积要进行分割或填充；
（3）检验求得的解是否符合实际.
③[师生互动反思]
师生交流过程中，学生对于面积问题有较深的理解，基础好，列方程解答较为简便，对于过程中的个别问题，教师可交给学生讨论、解答.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.