初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形完美版ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形完美版ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了等边对等角，三线合一，等角对等边，两边相等，两腰相等，轴对称图形，三角形，三边都不相等的三角形，等腰三角形，等边三角形等内容，欢迎下载使用。
　　1．等腰三角形的性质和判定
　　2．三角形按边的相等关系分类
底边和腰不相等的等腰三角形
　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．
你从中发现了哪个公共的几何图形？它有什么特殊性？
1. 等边三角形的性质
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
等边三角形的三条边都相等
如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC .
AB = BC = AC
∵AB = BC，∴∠B =∠C (等边对等角).
同理∠A =∠C，∴∠A =∠B =∠C.
∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°.
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
等边三角形有三条对称轴.
对比：等腰三角形与等边三角形的性质
三个角都相等，且都等于60°
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
2. 等边三角形的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形
如图，∵AB = BC = AC，
∴△ABC 是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形
如图，∵∠A =∠B =∠C，
已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵∠B =∠C ，∴AB = AC (等角对等边).
同理 AB = BC ，∴AB = BC = AC.
如图，当 AB = BC 时，∠B =∠C = 60°.
∴∠A = 180° –∠B –∠C = 60°.
当 AC = BC 时，∠A =∠B = (180° – 60°)÷2 = 60°.
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
如图，∵AB = AC，∠C(或∠A，∠B) = 60°，∴△ABC 是等边三角形.
对比：等腰三角形与等边三角形的判定
有一个角是 60°的等腰三角形
例4 如图，△ABC 是等边三角形， DE // BC，分别交 AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形.
证明： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C .∵DE // BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形.
知识点1 等边三角形的性质1.如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠2＝68°，则∠1的大小为(　　)A.68°　　B.62°　C.52°　　D.42°
2.［2026天津滨海新区期中］如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，图中能够表示PC＋PE的最小值的是下列哪条线段的长(　　)A.BC　　　B.AD 　　C.CD 　　D.CE
4.［2026广州期末］如图，P是等边三角形ABC内一点，∠BPC＝90°，以PC为边在PC的左侧作等边三角形CPQ，连接AQ. (1)根据题意补全图形；
【解】补全图形如下图所示：
(2)求∠AQC的度数.
5.下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是(　　)A.∠A＝∠B＝60°　　B.∠B＋∠C＝120°C.∠B＝60°，AB＝AC　　D.AB＝AC＝BC
6.如图，一艘轮船由海面上A地出发，向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距(　　)A.100海里　　B.80海里　　C.60海里　　D.40海里
7.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AB的长为　　　　cm.
【点拨】∵直尺的两对边互相平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.易知∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝BC＝3－1＝2(cm).
8.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝1 cm，BC＝3 cm，CD＝3 cm，DE＝2 cm，则这个六边形的周长是　　　　cm.
【点拨】如图，分别作AB，CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，P.∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴它的每一个外角是60°.∴易得△APF，△BGC，△EDH，△PGH都是等边三角形.∴GB＝GC＝BC＝3 cm，EH＝DH＝DE＝2 cm.∴PG＝PH＝GH＝3＋3＋2＝8(cm).∴FA＝PF＝PA＝8－3－1＝4(cm).∴EF＝8－4－2＝2(cm).∴六边形ABCDEF的周长为1＋4＋2＋2＋3＋3＝15(cm).
【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°.∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，∴△CP1A≌△BPA.∴AP1＝AP，∠CAP1＝∠BAP.∴∠CAP＋∠CAP1＝∠CAP＋∠BAP，即∠PAP1＝∠CAB＝60°.∴△APP1是等边三角形.∴P1P＝PA＝4.
11. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为(　　)A.16　 　　B.32　　C.64　　D.128
【点拨】∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2.又∵∠MON＝30°，∴易得∠OB1A1＝30°.∴OA1＝A1B1＝A1A2＝2.∵△A2B2A3是等边三角形，∴∠B2A2A3＝60°，B2A2＝A2A3.又∵∠MON＝30°，∴易得∠OB2A2＝30°.∴OA2＝A2B2＝A2A3＝2＋2＝4.同理可证A3A4＝4＋4＝8.以此类推，△AnBnAn＋1的边长为2n，∴△A7B7A8的边长为27＝128.
【点拨】如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，连接MN，则∠PMO＝∠PNO＝90°.∴∠MPN＝360°－∠AOB－∠PMO－∠PNO＝60°.∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN.
12. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1.若点M， N分别在OA， OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.无数个
∴△PMM1≌△PNN1(ASA).∴PM1＝PN1.∴△M1PN1是等边三角形.∴存在无数个满足条件的等边三角形PMN.同理，当M向MA方向移动，N向NO方向移动时，也存在无数个满足条件的等边三角形PMN.综上，满足条件的△PMN有无数个.
13. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点. (1)求证：AD＝BE；
【解】∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC ＝∠BEC.∵△DCE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°.∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°.∴∠DOE ＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°.
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形.