初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程集体备课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程集体备课课件ppt，共66页。PPT课件主要包含了由题意得，数字问题常用解题技巧，3如何求解，方法一，方法二，几何图形问题，数字问题，审清题意，设未知数，列方程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 几何图形问题
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理（重点、难点）．2．通过解决数字、几何图形等问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
1．解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2．列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数，③找等量关系，
④列方程，⑤解方程，⑥解答．
一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
数字问题与一元二次方程
分析：设这个数的个位数字为x，
则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．
再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．
解：设这个数的个位数为x，则十位数字为x－2．
10(x－2)＋x＝3(x－2)x．
解决这类问题关键要设出数位上的数字，并能准确地表示出原数．
如图，要设计一本书的封面，封面长为27 cm，宽为21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
几何图形问题与一元二次方程
（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21＝9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推．
设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算．
（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？
上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况．
（5）如果设中央矩形的长为9x，根据等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？
设中央矩形的长为9x cm．则宽为7x cm．
（6）练习：要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框所占面积为照片面积的四分之一，边框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
答：边框的宽度约为1.5 cm．
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为正整数.由勾股定理，得x²+(x+1)²=(x+2)².
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?
解方程，得x1＝3，x2＝-1(不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.
方法总结解决此类问题核心是结合勾股定理与连续整数特征，通过方程思想建模求解，具体如下：（1）设未知数，表达三边；（2）列方程（勾股定理建模）；（3）解方程并筛选；（4）验证并得出结论.
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?
解：设矩形的一边长为x m,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20－x)m;再由矩形的面积为96 m²,得x(20－x)=96.
解方程，得x1＝12，x2＝8．
因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m,12 m.
方法总结已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解．
解：设道路的宽为x m．可列方程
例3 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
还有其他列方程的方法吗？
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50．
当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．
答：道路的宽为2 m．
解：设道路的宽为x m．
可列方程(32－x)(20－x)＝540，
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出道路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
1．在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）A．x2＋130x－1 400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1 400＝0D．x2－65x－350＝0
2．一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3 000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm，则长为2x cm．
列方程，得5(2x－10)(x－10)＝3 000，整理，得x2－15x－250＝0．解得x1＝25，x2＝－10（舍去），∴2x＝50．
答：铁板的长为50 cm，宽为25 cm．
3．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2 296，则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x，则个位数字为10－x．原数为10x＋(10－x)＝9x＋10．对调后得到的数为10(10－x)＋x＝100－9x．依题意(9x＋10)(100－9x)＝2 296．解得x1＝8，x2＝2．当x＝8时，这个两位数是82；当x＝2时，这个两位数是28．答：这个两位数是82或28．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm．点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
根据题意得AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm．
解：设点P，Q出发x s后△PCQ的面积为9 cm²．
解得x1＝x2＝3．经检验，符合题意．
答：点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm²．
实际问题与一元二次方程
运用常见几何图形的面积公式构建等量关系
与列一元一次方程解决实际问题基本相同，不同在于要检验根的合理性
第2课时 传播问题与平均变化率问题
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理（重点、难点）．2．通过解决传播、平均变化率等问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
传播问题与一元二次方程
某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
根据示意图，列表如下：
答：平均一个人传染了________个人．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
(1＋x)2＝121，
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验．
1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)2
按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人被传染?
第2种做法：以第2轮传染后的121人为传染源，传染一次后就是：121(1＋x)＝121(1＋10)＝1 331（人）．
第1种做法：以1人为传染源，3轮传染后的人数是：(1＋x)3＝(1＋10)3＝1 331（人）．
平均变化率问题与一元二次方程
两年前生产1 t甲种药品的成本是10 000元，生产1 t乙种药品的成本是12 000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6 000元，生产1 t乙种药品的成本是7 200元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为
(10 000－6 000)÷2＝2 000（元），
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．
乙种药品成本的年平均下降额为
(12 000－7 200)÷2＝2 400（元）．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为10 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为10000(1－x)2元，
于是有10 000(1－x)2＝6 000．
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．
解：设乙种药品的年平均下降率为y，
列方程得12 000(1－y)2＝7 200．
解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775．
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
综上所述，甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%．
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同；
成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干和小分支的总数是133，则每个支干长出多少小分支?
解：设每个支干长出x个小分支，
则1＋x＋x2＝133，
即x2＋x－132＝0．
解得x1＝11，x2＝－12(不合题意，舍去)．
答：每个支干长出11个小分支．
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例2 某市教育局推出“中小学网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率．
根据题意，得20(1＋x)2＝24.2．
解得x1＝－2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
方法总结求平均增长率(降低率)问题：一般列方程a(1±x)n=b.其中a为原始数据，b为增长(降低)后的数据，n为变化次数，x为增长率(降低率).
1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（　　）A．500(1＋2x)＝720　　　　　　　B．500(1＋x)2＝720C．500(1＋x2)＝720　　　　　　　 D．720(1＋x)2＝500
2．某年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（　　）A．10%　　　　　B．20%　　　　　C．19%　　　　　D．25%
3．在园林化城市建设期间，某市2023年绿化面积约为1 000万平方米，2025年绿化面积约为1 210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2026年绿化面积约为（　　）A．1 221万平方米　　　　　　　　　　　　　B．1 331万平方米C．1 231万平方米　　　　　　　　　　　　　D．1 323万平方米
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．依题意1＋x＋(1＋x)x＝64，即(x＋1)2＝64，解得x1＝7，x2＝－9（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
第3课时 循环问题与销售问题
1．能够建立数学模型以解决循环和销售问题（重点、难点）．2．能正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
列一元一次方程解应用题的步骤？
在李老师所教的班级中，两个学生握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？
循环问题与一元二次方程
分析：设李老师所教班共有x名学生，
每个人都要和其他(x－1)个人握手一次，共握手(x－1)x次，
再根据全班学生一共握手780次列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设李老师所教班共有x名学生．
即(x－40)(x＋39)＝0．
解得x＝40或x＝－39（舍去）．
故李老师所教班共有40名学生．
销售问题与一元二次方程
超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，每次就要减少10个销售量，为了赚8 000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？
根据每件商品的利润×件数＝8 000，
分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_________元，
每个商品的利润为________________元，
因为每涨价1元，每次就要减少10个销售量，则每涨价x元，每次就要减少______个销售量，故销售量为______________个，
可列方程为_______________________________．
[(50＋x)－40]
(500－10x)·[(50＋x)－40]＝8 000
解：设每个商品涨价x元，则售价为(50＋x)元，销售量为(500－10x)个，
可列方程(500－10x)·[(50＋x)－40]＝8 000，
整理得x2－40x＋300＝0，
解得x1＝10，x2＝30，都符合题意．
当x＝10时，50＋x＝60，500－10x＝400；
当x＝30时，50＋x＝80，500－10x＝200．
答：要想赚8 000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个．
涨价时，销售量要保证大于0；降价时，要保证单个利润大于0．
列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤
例1 若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？
由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数，因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.
解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300,那么n(n-1)=300.
例2 假设某种糖的成本为8元/千克，售价为12元时，可卖100千克．若售价涨了1元，则少卖5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？
解：设每千克糖应涨价x元．
依题意得(4＋x)(100－5x)＝640，
解得x1＝4，x2＝12．
∵售价不高于成本价的2.5倍，
题目中有限定条件时，要注意取舍．
即每千克糖应涨价4元．
列一元二次方程解决销售问题的“一二三”
1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（　　）A．x(x＋1)＝182　　　　　　　　　　B．x(x－1)＝182C．2x(x＋1)＝182　　　　　　　　 D．x(1－x)＝182×2
2．将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价多少元？（　　）A．10　　　　　B．22　　　　　C．2或22　　　　　D．10或22
3．参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
解：设共有x个队参加了比赛．依题意x(x－1)＝90．解得x1＝10，x2＝－9（舍去）．答：共有10个队参加了比赛．
4. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？
解得x1＝6，x2＝－5（舍去）．∴x＝6．
答：共有6个班级参赛．
解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，
但每两班之间只比赛一场，
5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
解：设商品的销售单价应降低x元，则商品的销售单价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件．列方程，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，整理，得x2－5x＋4＝0，解方程，得x1＝1，x2＝4，要使顾客得实惠，取x＝4，所以销售单价定为56元．答：应将销售单价定为56元．