人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课堂教学课件ppt

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1.理解一元二次方程中根与系数的关系，能用符号表示根与系数的关系.2.综合利用根的判别式、一元二次方程中根与系数的关系，解决一些简单的实际问题.3.在利用一元二次方程中根与系数的关系解决问题的过程中，提高逻辑推理能力与数学运算能力.
一元二次方程的根与系数的关系
方程ax2+bx+c =0的根是由系数________的值决定的，且x1+x2=__，x1x2=_，用文字叙述为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，这个关系叫作一元二次方程的根与系数的关系.
例1　(课本P16例5)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积.(1)x2-6x-15=0；(2)3x2+7x-9=0；(3)5x-1=4x2.
根据已知的一元二次方程求方程的两根之和与两根之积时，其易错点有两处，一是混淆了二次项系数为1与二次项系数不为1的区别；二是容易出现符号等方面的错误.
一元二次方程根与系数的关系的应用
利用一元二次方程的根与系数的关系，可以解决下列问题：①求已知方程的两根之和与两根之积，以及与方程的两根之和或两根之积有关的代数式的值，②已知方程的一个根求方程的另一个根或方程中的字母参数；③与根的判别式相结合，求方程中字母参数的取值范围等.
例2　已知关于x的方程：(1-m)x2-2x+1=0.(1)当m为何值时，方程有实数根？
解　当1-m=0，即m=1时，方程有1个实数根；当1-m≠0，Δ=(-2)2-4(1-m)≥0时，即m≥0，且m≠1时，方程有实数根.综上所述，当m≥0时，方程有实数根.
利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题时，其前提是方程必须有实数根，所以当方程中含有字母参数时，要注意与一元二次方程的根的判别式相结合.
跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
证明　∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.(2)设该方程的两个实数根为a，b，且(2a+b)(a+2b)=20，求m的值.
2.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和-3，则A.b=1，c=-6B.b=-1，c=-6C.b=5，c=-6D.b=-1，c=6
解析　根据题意得2+(-3)=-b，2×(-3)=c，解得b=1，c=-6.
3.已知a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则a2b+ab2的值是A.-1　　　　B.-5　　　　C.-6　　　　D.6
解析　∵a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴ab=-3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab(a+b)=-3×2=-6.
4.一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根的平方和为____.