人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形精练

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1.下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A . ∠A=50°、∠B=80°
B . ∠A=42°、∠B=48°
C . ∠A=2∠B=70°
D . AB=4、BC=5，周长为15
2.已知直线DE与不等边△ABC的两边AC，AB分别交于点D，E，若∠CAB=60°，则图中∠CDE+∠BED=（ ）
A . 180° B . 210° C . 240° D . 270°
3.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A . 1003 B . 953 C . 40 D . 48
4.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（ ）
A . 3个 B . 5个 C . 6个 D . 8个
5.在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时，第一步应假设（ ）
A . 三角形至少有一个角是直角或钝角
B . 三角形中至少有两个直角或钝角
C . 三角形中没有直角或钝角
D . 三角形中三个角都是直角或钝角
二、填空题
1.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ________ ．
2.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= ________ （度）
3.若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是 ________ 三角形．
4.A：在△ ABC中， AB＝17， AC＝10， BC边上的高 AD＝8，则 BC＝ ________ ；
B：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点D是直线BC上一动点，当△ACD是等腰三角形时，则BD＝ ________ ．
5.已知：直角△ ABC的三边分别为 a ， b ， c ， 且周长为9，斜边为4，则△ ABC的面积 ________ ．
6.上午8时，一艘轮船从A处出发，以 15海里/时的速度向正北航行，上午 10时到达B处，从A，B处测得灯塔C在A的北偏西 42° ， 在B的北偏西 84° ， 则B距灯塔C ________ 海里．
7.在螳螂的示意图中， AB∥DE ， △ABC是等腰三角形， ∠ABC=126°，∠CDE=72° ， 则 ∠ACD的度数是 ________ ．

8.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ________ ．

9.如图，在三角测平架中， AB=AC ， 在 BC的中点 D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点 A ， 那么就能确认 BC处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ________ ．
三、作图题
1.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
2.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
3.如图，已知∠α和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α。
四、综合题
1.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
2.如图1所示，当线 y=kx+bk≠0分别与 x轴， y轴交于 A−4,0,B0,−4两点，点 D为 x轴上点 A左侧一动点，以点 D为直角顶点， BD的长为一腰在第三象限内作等腰直角 △BCD ， 解答下列问题：
（1） 求 k,b的值；
（2） 当点 D的坐标不同时，点 C的坐标也随之不同，请问在点 D的运动变化过程中所对应的不同的点 C坐标是否都在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式，如果不在，请说明理由：
（3） 在直线 CA上有一点 Qm,3 ， 点 R在 x轴上，若 △OQR是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 R的坐标．
3.（1）如图1，在四边形 ABCD中， AB=AD ， ∠ABC+∠ADC=180° ． E、F两点分别是 BC、 CD上的点，且 EF=BE+FD ， 试探究图中 ∠EAF与 ∠BAD的数量关系．
小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长 FD到点G，使 DG=BE ， 连接 AG ． 然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程．
（2）如图2，在四边形 ABCD中， ∠ABC+∠ADC=180° ， AB=AD ． 若E、Ｆ分别在 CB、 CD的延长线上，且仍然满足 EF=BE+FD ， 请直接写出 ∠EAF与 ∠BAD的数量关系．
4.在等腰直角 △ABC中， ∠ACB=90° ， AC=2 ， 将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为 α(0°