初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形当堂检测题

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形当堂检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠AMB的度数为（ ）
A . 144° B . 120° C . 108° D . 100°
2.在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A . 8 B . 9 C . 10 D . 11
3.等边三角形的面积是 43 ， 则它的周长等于（ ）
A . 6 B . 63 C . 12 D .123
4.如图，面积为4的等边三角形 ABC中，D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，则 △DEF的面积是（ ）
A . 1 B . 12 C . 13 D .14
5.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A . a=3，b=3，c=4
B . a：b：c=2：3：4
C . ∠B=50°，∠C=80°
D . ∠A：∠B：∠C=1：1：2
6. 菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若BE=EC，则∠EAF=（ ）
A . 75° B . 60° C . 50° D . 45°
7.点 O是菱形 ABCD的对角线 AC上的动点， ∠B=120° ， AB=2 ， E是 AD中点， OE+OD的最小值 =（ ）
A . 3 B . 2 C . 4 D . 8
8.已知等腰△ABC的两边长分别为2cm和3cm，则△ABC的周长为（ ）
A . 7cm B . 8cm C . 6cm或8cm D . 7cm或8cm
9.如图，AD是等边 △ABC的中线， AE=AD ， 则 ∠EDC的度数为（ ）
A . 30° B . 20° C . 25° D . 15°
10.如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中B在A的北偏东 50°方向，C在B的正南方，且 BC=AB ， 则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A . 北偏西15°
B . 北偏东75°
C . 南偏西15°
D . 南偏东65°
二、填空题
1.已知△ ABC是等腰三角形，它的周长为20 cm ， 一条边长6 cm ， 那么腰长是 ________ ．
2.在等腰直角三角形 ABC中， ∠ACB=90° ， CD⊥AB于点 D ， 点 E是平面内任意一点，连接 DE ， 如图1，当点 E在边 BC上时，过点 D作 DF⊥DE交 AC于点 F ．
（1）线段 AF ， DE ， BE之间满足的数量关系是 ________ ．
（2）如图2，当点 E在 △BDC内部时，连接 AE ， CE ， 若 DB=5 ， DE=32 ， ∠AED=45° ， 求线段 CE的长为 ________ ．
3.已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC 于 D，且△ABC 的周长为 50cm，△ABD的周长为 40cm，则 AD= ________ cm.
4.如图，点A（﹣2，0），直线l：y＝ 33x+33 与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA 1 ， 过点A 1作A 1B 1∥x轴，交直线l于点B 1 ， 以A 1B 1为边作等边△A 1B 1A 2 ， 过点A 2作A 2B 2∥x轴，交直线l于点B 2 ， 以A 2B 2为边作等边△A 2B 2A 3 ， 则点A 3的坐标是 ________ .
5.如图，正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的一点，连接AE，将点E绕点A顺时针旋转使得E点的对应点F落在CB的延长线上，连接AF，过点F作AE的垂线，交对角线AC于点G，若AG＝2CG，则线段EF的长为 ________ .
6.如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ， 按以下步骤作图：①以顶点 C为圆心， BC的长为半径画弧，交 AB于 B ， D两点；②分别以点 B ， D为圆心，大于 12BD的长为半径画弧，两弧交于点 E：③作射线 CE交 AB于点 F ． 若 ∠A=30° ， BC=4 ， 则 DF的长为 ________ ．
7.若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为 ________ ．
8.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= ________ 时，△AOP为等边三角形．
9.在螳螂的示意图中， AB∥DE ， △ABC是等腰三角形， ∠ABC=126°，∠CDE=72° ， 则 ∠ACD的度数是 ________ ．

10.“三角形中至少有一个内角大于等于60°”，这个命题用反证法证明应假设 ________
三、作图题
1.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
2.如图，已知∠α和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α。
3.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
4.如图所示的 6×6方格纸上每个小正方形的边长都为1．在方格纸上按要求画图．

（1） 在图1中以点 A为顶点，画边长为 2 ， 5 ， 5的 △ABC；
（2） 在图2中以 AB为一边，画菱形 ABCD ．
5.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
四、综合题
1.如图，海中有一小岛 P ， 它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 M处测得小岛 P在北偏东 60°方向上，航行16海里到 N处，这时测得小岛 P在北偏东 30°方向上．
（1） 试说明 △PMN是等腰三角形；
（2） 求 M点与小岛 P之间的距离；
（3） 如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
2.已知，在等边 △ABC中，点 D是射线 AC上一点，连接 DB ．
（1） 如图1， CD=3AD=1 ， 请求解线段 BD的长；
（2） 如图2，点 D在线段 AC上，若点 E为 BC延长线上一点，满足 AD=CE ， 连接 DE ， 将线段 DE绕点 D逆时针旋转 60°得到线段 DP ， 连接 BP ， EP ， 用等式表示线段 BP、 AD之间的数量关系，并证明；
（3） 在（2）条件下，点 D是线段 AC延长线上一点，若 △BEP为等腰三角形时，请直接写出 ADAC的值．
3.把直角三角形 OAB与直角三角形 O'CD如图①放置，直角顶点 O与 O'重合在一起，点 D在 OB上， ∠B=30° ， ∠C=45°.现将 △O'CD固定， △OAB绕点 O顺时针旋转，旋转角 α (0°≤αMA≥BN ， 连接 CM ， CN ， 求 ∠MCN的度数；
（3） 如图3，在（2）的基础上，过点A垂直于 CA的直线与过点B垂直于 BC的直线相交于点D，延长 CM ， CN分别与 AD ， BD相交于点F和点E，且 CF=82 ， CE=10 ， 求线段 MN的长．
3.试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
六、阅读理解
1.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
2.请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形 ABC内有一点 P ， 且 PA=2 ， PB=3 ， PC=1 ， 求 ∠BPC的度数和等边三角形 ABC的边长．
李明同学的思路是：
将 △BPC绕点 B逆时针旋转 60° ， 画出旋转后的图形（如图 2) ， 连接 PP' ．
（1） 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 ∠BPC= ° ， 等边 △ABC的边长为 ．
（2） 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形 ABCD内有一点 P ， 且 PA=5 ， BP=2 ， PC=1 ． 求 ∠BPC度数和正方形 ABCD的边长．
（3） 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ∠A=75° ， AB=22km ， AC=4km ， 工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 PA+PB+PC的最小值是 km ．