高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示优秀课时训练

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1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角 SKIPIF 1 < 0 来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
SKIPIF 1 < 0 +2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 <2π范围内的辐角 SKIPIF 1 < 0 的值为辐角的主值.通常记作argz，即0 SKIPIF 1 < 0 argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )]，
即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相乘时，可以像图那样，先分别画出与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后把向量 SKIPIF 1 < 0
绕点O按逆时针方向旋转角 SKIPIF 1 < 0 (如果 SKIPIF 1 < 0 <0，就要把 SKIPIF 1 < 0 绕点O按顺时针方向旋转角| SKIPIF 1 < 0 |)，再把它的模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示的复数就是积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .这是复数乘法的几何意义.
3．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )，且 SKIPIF 1 < 0 ≠ SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0
( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )]= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )，所以根据复数除法的定义，有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相除时，先分别画出与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后把向量 SKIPIF 1 < 0 绕点O按
顺时针方向旋转角 SKIPIF 1 < 0 (如果 SKIPIF 1 < 0 <0，就要把 SKIPIF 1 < 0 绕点O按逆时针方向旋转角| SKIPIF 1 < 0 |)，再把它的模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示的复数就是商 SKIPIF 1 < 0 .这是复数除法的几何意义.
【题型1 求辅角主值】
【方法点拨】
求辅角主值时，要考虑角 SKIPIF 1 < 0 的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角
形式，再进行求解.
【例1】（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】的辐角主值为（ ）．
A．B．C．D．
【变式1-2】复数的辐角主值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】设，则复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 复数的代数形式与三角形式的互化】
【方法点拨】
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
【例2】将下列复数表示成三角形式
(1)； (2)．
【变式2-1】化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i； (2)1－i； (3)2i； (4)－1．
【变式2-2】将下列复数化为三角形式：
(1)； (2)．
【变式2-3】将下列复数化为三角形式：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【题型3 三角形式下的复数的乘、除运算】
【方法点拨】
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【例3】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-1】计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A．B．
C．－iD．＋i
【变式3-3】在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．C．D．
【题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【方法点拨】
根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
【例4】把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．2iB．C．D．
【变式4-3】设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A．B．C．D．
专题7.3 复数的三角表示（重难点题型检测）
一．选择题
1．下列结论中正确的是（ ）．
A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
2．复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
3．复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
4．复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．C．D．
5．已知为虚数单位，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
6．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
7．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．，B．C．D．
8．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
二．多选题
9．以下不是复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
11．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．B．当，时，
C．当，时，D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
12．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
三．填空题
13．的三角形式是 ．
14．已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是 ．
15．如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 .
16．人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列法正确的是 ．
①；
②当，时，；
③当，时，；
④当，时，若为偶数，则复数为纯虚数；
⑤
四．解答题
17．求复数的辐角主值．
18．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
19．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6； (2)； (3)； (4)．
20．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
21．已知复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.
（1）若,向量绕原点逆时针旋转且模变为原来的2倍后与向量重合，求的值.
（2）若，试判断四边形的形状.
22．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.