高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案

7.3.1　复数的三角表示式

知识点一　　　复数的三角形式

(1)定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角．

(2)非零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(射线OZ)为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角．

因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)．

知识点二　　　辐角的主值

(1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.

(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的．

特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．

1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2kπ或

k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．

2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)－1＝cosπ＋isinπ.(　　)

(2)2i＝2.(　　)

(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)将复数z1＝－1＋i表示成三角形式为________．

(2)已知|z|＝2，argz＝，求复数z＝________.

(3)若a<0，则a的三角形式是________．

答案　(1)2　(2)－3i

(3)－a(cosπ＋isinπ)

题型一  复数的代数形式化为三角形式

例1　把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)＋i；(2)1－i.

[解]　(1)r＝＝2，

∵＋i对应的点在第一象限，

∴tanθ＝＝，即θ＝，

∴＋i＝2.

(2)r＝＝.

∵1－i对应的点在第四象限，

且tanθ＝＝－1，∴θ＝，

∴1－i＝.

　复数代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模．

(2)决定辐角所在的象限．

(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)．

(4)求出复数三角形式．

把下列复数表示成三角形式．

(1)－2＋2i；(2)2.

解　(1)原式＝2＝2.

(2)原式＝2＝2.

题型二  判断复数三角形式的条件

例2　判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．

(1)；

(2)－；

(3)2；

(4)sin＋icos.

[解]　根据复数的三角形式的结构，

z＝r(cosθ＋isinθ)，可依次作出判断．

(1)不是.＝.

(2)不是．－＝

＝.

(3)不是.2＝2.

(4)不是．sin＋icos＝cos＋isin.

　判断复数的三角形式的条件

(1)r≥0；

(2)加号连接；

(3)cos在前，sin在后；

(4)θ前后一致，可任意值．

即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．

求复数z＝3的辐角主值．

解　∵z＝3＝3，

∴辐角主值argz＝.

题型三  复数三角形式化为代数形式

例3　把下列复数表示成代数形式．

(1)4；

(2)6.

[解]　根据a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)，可得

a＝rcosθ，b＝rsinθ，故可解．

(1)4＝4×＋4×i＝2＋2i.

(2)6＝6×＋6×i＝3－3i.

将复数的三角形式化为代数形式：

由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ，

可得a＝rcosθ，b＝rsinθ.

将下列复数的三角形式化成代数形式．

(1)z1＝2；

(2)z2＝6(cos60°＋isin60°)．

解　(1)z1＝2＝＋i.

(2)z2＝6＝3＋3i.

1．－6的辐角主值为(　　)

A．0  B.  C．π  D．－

答案　C

解析　－6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C.

2．下列说法正确的是(　　)

A．已知复数z＝cos＋isin，则z的辐角主值为

B．复数z＝2i＋3的虚部为2i

C．(＋i)6＝－64

D．复数z＝2i的三角形式为z＝2

答案　C

解析　A项，z的辐角主值argz＝，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(＋i)6＝[(＋i)2]3＝(2＋2i)3＝8＋3×2×(2i)2＋3×22×(2i)＋(2i)3＝－64，正确；D项，z＝2(0＋i)＝2，错误．故C正确．

3．复数－i的三角形式是________．

答案　cos＋isin

解析　－i＝cos＋isin，故复数－i的三角形式是cos＋isin.

4．设复数z，z＋2的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则z＝________.

答案　－1＋i

解析　设z＋2＝r1＝＋i，

z－2＝r2＝－＋i.

∴－2＋i＝2－＋i，

易得

∴r2＝r1，代入①得r1＝2，∴z＝1＋i－2＝－1＋i.

5．设复数z满足z－3的辐角主值为，z＋1的模为，求复数z.

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)．

由|z＋1|＝，得|(x＋1)＋yi|＝，

∴(x＋1)2＋y2＝10.①

又z－3＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，所以

 arg(z－3)＝⇔②

解①②，可得x＝2，y＝－1.

所以z＝2－i.