高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示教案，共17页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。

复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华，教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础，教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会，学习。教学中注意教材的内容设置，把教材，分析教材，灵活处理教材与学生的实际相结合。可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。
二、【单元知识结构框架】
复习回顾：
复数的几何意义及复数的模：
复数z=a+bi一一对应有序实数对（a，b）一一对应点Z（a，b）一一对应向量OZ
预习新知
1.复数的三角形式
z＝a+bi＝r（cs θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.
在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.
为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.
2.复数三角形式的乘法法则
r1（cs θ1+isin θ1）×r2（cs θ2+isin θ2）＝r1r2［cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.
模相乘，辐角相加.
三、【学情分析】
1．认知基础
复数的三角形式是复数的一种重要表达形式对于复数的运算有着非常重要的意义学好复数的三角形式是能更好运用复数的重要支点
2.认知障碍
一方面，培养学生的观察、推理和归纳的能力，养成细心观察、主动探究、善于总结的良好思维习惯。另一方面，通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约1课时
教学重点：掌握复数的三角表示、复数的代数表示与三角表示之间的关系，辐角、辐角主值等概念。
掌握复数乘法，乘方的三角表示及几何意义.
教学难点： 复数乘法运算的三角表示及其几何意义.
教学方法/过程：
了解复数三角形式相关知识
一、基础知识
（1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （csθ+ isinθ）的形式叫复数z的
三角形式。即z=r（csθ+ isinθ） 其中 ，θ为复数z的辐角。
② 非零复数z辐角θ的多值性：
以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角
因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z）
③ 辐角主值
表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。
定 义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值
唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模是唯一的。
⑤z=0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
（2）复数的向量表示
在复平面内与复数z1、z2对应的点分别
为z1、z2（如图） 向量，
向量，
向量
与复数z2－z1对应的向量为，显然z∥z1z2
则argz1=∠xz1=θ1 argz2=∠xz2=θ2 ，argz（z2－z1）=arg z=∠xz=θ
（3）复数运算的几何意义：主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z1=r1（csθ1+isinθ1） z2=r2（csθ2+isinθ2）
乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cs(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
② 除法 （其中 z2≠0）
任务2：能将复数的代数形式和三角形式相互转化
二、基本方法： 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：
（1）化复数为三角形式
如 求复数

这样化成三角式
∴复数的辐角是（）， 辐角主值为
∵ 这个复数对应的点在复平面内第四象限，
也可以化三角式为
（2）直接求辐角及主值：主要是使用复数代数式 、三角式的互化：
若z=a+bi （a,b∈R）
则辐角为θ，则，θ依点z（a,b）所在象限确定。
如上例
设辐角为θ则tgθ=－1， ∵ 点z（）在第四象限
∴ tgθ=tg，，而arg z=
（3）数形结合：主要是复数运算的几何意义得到的解法
五、【教学问题诊断分析】
7.3.1 复数的三角表示式
问题1：．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值
一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量eq \(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝eq \r(a2＋b2)，
根据任意角余弦、正弦的定义可知
cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r).
因此a＝rcs θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcs θ)＋(rsin θ)i＝r(cs θ＋isin θ)，
上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．
显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.
例1.把下列复数的代数形式化成三角形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.
（2）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.
问题2：复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)×r2(cs θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
(3)[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn[cs(nθ)＋isin(nθ)].
例2.任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
所以辐角主值为．
故选：D．
问题3：.复数三角形式的乘、除运算
例3.计算：
(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq \s\UP12(2)；
(2)eq \r(,2)(cs 75°＋isin 75°)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3))))).
[解] (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq \s\UP12(2)
＝(eq \r(,2))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))
＝－1＋eq \r(,3)i.
(2)eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i＝eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)－\f(\r(,2),2)i))
＝eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))，
所以eq \r(,2)(cs 75°＋isin 75°)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))))
＝eq \r(,2)×eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))))
＝cseq \f(26,12)π＋isineq \f(26,12)π
＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6)
＝eq \f(\r(,3),2)＋eq \f(1,2)i.
(3)因为－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,3),2)i＝cseq \f(2,3)π＋isineq \f(2,3)π，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(,3),4)i.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
一、单选题
1．以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．；
B．；
C．；
D．．
【答案】C
【分析】逐一计算每个选项即可得答案.
【详解】对于A：，符合；
对于B：，符合；
对于C：，不符合；
对于D：，符合
故选：C.
2．下列结论中正确的是（ ）．
A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
【答案】B
【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.
【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：B
3．（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】复数可以写成的形式，即可求得复数的辐角主值.
【详解】，所以复数的辐角主值.
故选：A
二、填空题
4．______．
【答案】
【分析】写出，的三角表示，应用三角形式除法化简复数即可.
【详解】由，，
所以.
故答案为：
5．写出一个的复数______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据复数三角形式写出一个满足的复数即可.
【详解】由题设，且，而，
所以满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
6．将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值）
【答案】
【分析】直接写出复数－2的三角形式即可.
【详解】
故答案为：
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．计算：（ ）．
A．；B．；
C．；D．．
【答案】D
【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值.
【详解】设，
所以
.
故选：D
2．复数的值是（ ）
A．B．16C．D．
【答案】A
【分析】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可.
【详解】.
故选：A
3．已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.
【详解】由已知，复数，
故选：A．
二、多选题
4．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.
【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误.
故选：ABC.
5．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】A根据的几何意义判断；B由即可判断；C由即可判断；D由并结合向量数量积的运算律即可判断.
【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合；
B：等价于，即共线，不符合；
C：等价于，但不一定有，不符合；
D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合.
故选：AD
6．已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.
【详解】因为单位向量分别对应复数，
设复数，，
因为，所以，即，
所以，
故选：AD.
三、填空题
7．计算：______．
【答案】
【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.
【详解】
，
，
故答案为：.
8．已知方程的两根满足，则__________．
【答案】或
【分析】按照或进行分类讨论，由此求得的所有可能取值.
【详解】已知方程的两根，由韦达定理有：，
若即时，
所以，解得：.
若即时，
所以，
解得：.
综上：或.
故答案为：或.
四、解答题
9．如果复数，，（其中，，i为虚数单位）．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式即可得证明.
【详解】因为，，
所以
，
故.
10．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．
【答案】；证明见解析
【分析】利用复数的代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式进行证明即可.
【详解】猜想的辐角为，证明如下：
依题意，得，，
所以
，
故的辐角主值为，则其辐角为.
11．已知复数z满足，且是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z的辐角主值．
【答案】(1)
(2)当时，的辐角主值为；当时，的辐角主值为．
【分析】(1)设，，由条件列方程求即可，(2)根据辐角主值的定义求解.
【详解】（1）设，，因为，所以，所以，故，
所以，
又是纯虚数， 所以，所以，
所以
（2）设复数的辐角主值为，则，
当时，，所以，，，所以，故复数的辐角主值为；
当时，，所以，，，所以，故复数的辐角主值为.
12．知复数，且，求．
【答案】或
【分析】利用复数的除法运算可得，根据复数相等列方程组，结合同角三角函数的关系求解的值即可.
【详解】解：因为，所以，
因此，
从而，所以，
而，即，
从而，解得或．
当时，；
当时，．
因此或.
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本练习
2.课本习题7.3复习巩固及综合运用与拓广探索