人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示导学案，共55页。


知识点一 复数三角形式的乘法
设z1，z2的三角形式分别是：
z1＝r1(csθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，
则z1z2＝eq \(□,\s\up4(01))r1(csθ1＋isinθ1)·r2(csθ2＋isinθ2)
＝eq \(□,\s\up4(02))r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up16(→))，eq \(OZ2,\s\up16(→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up16(→))绕点O按eq \(□,\s\up4(03))逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把eq \(OZ1,\s\up16(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为eq \(□,\s\up4(04))原来的r2倍，得到向量eq \(OZ,\s\up16(→))，eq \(OZ,\s\up16(→))表示的复数就是积z1z2.
特征：旋转＋伸缩变换．
知识点二 复数三角形式的除法
设z1，z2的三角形式分别是：
z1＝r1(csθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1csθ1＋isinθ1,r2csθ2＋isinθ2)
＝eq \(□,\s\up4(01))eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)，
这就是说，两个复数相除，商的模等于eq \(□,\s\up4(02))被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于eq \(□,\s\up4(03))被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up16(→))，eq \(OZ2,\s\up16(→))，将向量eq \(OZ1,\s\up16(→))按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的eq \f(1,r2)倍，所得向量eq \(OZ,\s\up16(→))就表示商eq \f(z1,z2).
复数除法实质也是向量的eq \(□,\s\up4(04))旋转和伸缩．
1．复数三角形式的乘法公式推广
z1z2z3…zn＝r1(csθ1＋isinθ1)·r2(csθ2＋isinθ2)·…·rn(csθn＋isinθn)＝r1r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
2．复数的乘方运算(棣莫佛定理)
[r(csθ＋isinθ)]n＝rn(csnθ＋isinnθ)．
即复数的n(n∈N*)次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复数范围内，1的立方根是1.( )
(2)zeq \(z,\s\up6(－))＝|z|2.( )
(3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))·3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝6i.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做
(1)把z＝2－i对应的向量eq \(OZ,\s\up16(→))，按顺时针方向旋转eq \f(π,2)，所得向量对应的复数的代数形式为________．
(2)(1＋eq \r(3)i)2019＝________.
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))))＝________.
答案 (1)－1－2i (2)－22019 (3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
题型一 复数三角形式的乘法运算
例1 计算下列各式：
(1)eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12)))·eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))；
(2)3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋isin\f(π,6)))·7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,4)＋isin\f(3π,4)))；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))－4.
[解] (1)原式＝eq \r(6)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(5π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(5π,6)))))
＝eq \r(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,12)＋isin\f(11π,12))).
(2)原式＝21eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(3π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(3π,4)))))
＝21eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,12)＋isin\f(11π,12))).
(3)原式＝eq \f(1,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))4)
＝eq \f(1,16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3))))
＝eq \f(1,16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i)))＝eq \f(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i,16)＝－eq \f(1,32)＋eq \f(\r(3),32)i.
(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和．
(2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向．
(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式．
(1)如果向量eq \(OZ,\s\up16(→))对应复数4i，eq \(OZ,\s\up16(→))逆时针旋转45°后再把模变为原来的eq \r(2)倍，得到向量eq \(OZ1,\s\up16(→))，那么与eq \(OZ1,\s\up16(→))对应的复数是________；
(2)计算(1＋eq \r(3)i)6.
答案 (1)－4＋4i (2)见解析
解析 (1)eq \(OZ,\s\up16(→))＝4i＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))，
eq \(OZ1,\s\up16(→))＝4eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)))))
＝4eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝－4＋4i.
(2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))6＝26eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(6π,3)＋isin\f(6π,3)))＝26.
题型二 复数三角形式的除法运算
例2 计算(1＋i)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,4)＋isin\f(3π,4))))).
[解] 因为1＋i＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))，
所以原式＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4))),\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,4)＋isin\f(3π,4))))
＝eq \f(\r(2),\r(3))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(3π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(3π,4)))))
＝eq \f(\r(2),\r(3))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
＝eq \f(\r(6),3)(0－i)
＝－eq \f(\r(6),3)i.
(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角．
(2)结果一般保留代数形式．
(3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，argeq \f(z1,z2)与argz1，argz2的关系是：argeq \f(z1,z2)＝argz1－argz2＋2kπ(k∈Z)．
计算：(1)[6(cs70°＋isin70°)]÷[3(cs40°＋isin40°)]；
(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6))))).
解 (1)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs30°＋isin30°))＝eq \r(3)＋i.
(2)原式＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))＝4i.
题型三 复数乘、除运算几何意义的应用
例3 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝eq \f(π,4).
[证明] 如图，建立平面直角坐标系(复平面)．
∠1＝arg(3＋i)，
∠2＝arg(5＋i)，
∠3＝arg(7＋i)，
∠4＝arg(8＋i)．
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角．而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)，
所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝eq \f(π,4)，
又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角，
于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝eq \f(π,4).
复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．
设复数z1，z2对应的向量为eq \(OZ1,\s\up16(→))，eq \(OZ2,\s\up16(→))，O为坐标原点，且z1＝－1＋eq \r(3)i，若把eq \(OZ1,\s\up16(→))绕原点逆时针旋转eq \f(4π,3)，把eq \(OZ2,\s\up16(→))绕原点顺时针旋转eq \f(3π,4)，所得两向量恰好重合，求复数z2.
解 依题意(－1＋eq \r(3)i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))
＝eq \f(z2,cs\f(3π,4)＋isin\f(3π,4)).
∴z2＝(－1＋eq \r(3)i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,4)＋isin\f(3π,4)))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(4π,3)＋\f(3π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(4π,3)＋\f(3π,4)))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,4)＋isin\f(11π,4)))
＝－eq \r(2)＋eq \r(2)i.
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))10＝( )
A．i B．－i
C.eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)i D.eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)i
答案 A
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))10＝cseq \f(10π,4)＋isineq \f(10π,4)＝cseq \f(5π,2)＋isineq \f(5π,2)＝cseq \f(π,2)＋isineq \f(π,2)＝i.故选A.
2．若复数z＝eq \f(i,1＋i)，则它的三角形式为( )
A.eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
B.eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
C.eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
D.eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)－isin\f(π,4)))
答案 C
解析 ∵z＝eq \f(i,1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，∴|z|＝eq \f(\r(2),2)，复数z对应的点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，位于第一象限，所以argz＝eq \f(π,4).故选C.
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
答案 A
解析 原式＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,2)＋isineq \f(π,2)＝i.
4．计算2÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))＝________.
答案 eq \r(2)－eq \r(2)i
解析 解法一：原式＝eq \f(2,\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i)＝eq \f(2·1－i,\f(\r(2),2)1＋i1－i)＝eq \f(21－i,\r(2))＝eq \r(2)－eq \r(2)i.
解法二：原式＝eq \f(2cs0＋isin0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4))))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))
＝2×eq \f(\r(2),2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)i))
＝eq \r(2)－eq \r(2)i.
5．求复数z＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋i,2)))7的模．
解 因为eq \f(\r(3),2)＋eq \f(i,2)＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋i,2)))7＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))7＝cseq \f(7π,6)＋isineq \f(7π,6)
＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，
故z＝1－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，
|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝ eq \r(2－\r(3))＝ eq \r(\f(4－2\r(3),2))
＝ eq \r(\f(\r(3)－12,2))＝eq \f(\r(3)－1,\r(2))＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).