高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示优秀课后测评

第七章复数

7.3*　复数的三角表示

7.3.1　复数的三角表示式  

7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021河南郑州期末)已知z=cos+isin,则下列结论正确的是(　　)

A.z2的实部为1 B.z2=z-1

C.z2= D.|z2|=2

答案B

解析z=cos+isini.z2=i2=i=-i,其实部为-,故A错误;z-1=-i=z2,故B正确;i≠z2,故C错误;|z2|=-2+2=1,故D错误.故选B.

2.将复数z=-2+2i化成三角形式是　　　　　. 

答案4

解析模长|z|==4,设辐角为θ,tan θ=-,且点(-2,2)在第二象限,得辐角主值为π,故z=4.

3.[2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　. 

答案-8

解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]

=8(cos 180°+isin 180°)=-8.

4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].

解4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]

=[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]

=2[cos(-240°)+isin(-240°)]

=2=-1+i.

5.已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义.

解z1z2=×6×cos+isin

=3=3i.

首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.

6.已知复数z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求的三角形式.

解[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)].

关键能力提升练

7.复数z=-1+的辐角主值为　　　　　. 

答案

解析因为=i,所以=i2 021=i.

所以z=-1+i=cos+isin,

所以复数z的辐角主值为.

8.÷(3i)=　　　　　. 

答案-i

解析原式=÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin=cos+isin==-i.

9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题:

(1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;

(2)试求复数的模.

解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini.

(2)由题意可知i+=1+i,

因此,.

10.已知复数z的模为2,实部为,求复数z的代数形式和三角形式.

解由题意,可设z=+bi(b∈R).

∵|z|=2,∴=2,解得b=±1,

∴z=+i或z=-i.

化为三角形式,得z=2cos+isin或z=2cos+isin.

11.计算下列各式的值:

(1)·2cos+isin;

(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).

解(1)·2cos+isin

=cos+isin·2cos+isin

=2(cos π+isin π)=-2.

(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)

=30(cos 270°+isin 270°)=-30i.

12.求证:=cos θ-isin θ.

证明左边=

==cos(-θ)+isin(-θ)

=cos θ-isin θ=右边.

学科素养创新练

13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.

(1)求ω;

(2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.

解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R),

将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,

化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,

∴解得

∴ω=-1+i.

(2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|

=

=.

∵|z-ω|=1+,∴=1+,

化简得cos=1.∵≤θ+<2π+,

∴θ+=2π,即θ=.