数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案，共6页。


课题
6.43.1余弦定理
课型
新授课
课时
1
学习目标
1．掌握余弦定理及其推论．
2．掌握余弦定理的综合应用．
3．能应用余弦定理判断三角形的形状．
4.借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养．
5.通过余弦定理的应用，培养数学运算素养.
学习重点
掌握余弦定理及其推论．
学习难点
掌握余弦定理的综合应用．
学情分析
通过向量章节的学习，学生已具备用应用向量方法解决几何问题的能力.
核心知识
1掌握余弦定理及其推论．
2.掌握余弦定理的综合应用．
3.能应用余弦定理判断三角形的形状．
教学内容及教师活动设计
（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）
教师个人复备
情景引入
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.
问题：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
符号语言：
a2＝b2＋c2－2bccs_A，
b2＝a2＋c2－2accs_B，
c2＝a2＋b2－2abcs_C
推论：
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
初试身手
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．
( )
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．( )
(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c等于( )
A．eq \r(39)B．8eq \r(3)
C．10eq \r(2) D．7eq \r(3)
D [由余弦定理得
c＝eq \r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cs 150°)＝eq \r(147)＝7eq \r(3).]
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A．60° B．45°
C．120°D．30°
C [由cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°.]
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cs C＝________.
eq \f(1,2) [∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcs C，∴2cs C＝1.∴cs C＝eq \f(1,2).]
题型探究
已知两边与一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60eq \r(3) cm，A＝eq \f(π,6)，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝________.
(1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理得：
a＝ eq \r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cs\f(π,6))
＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：(eq \r(5))2＝52＋BC2－2×5×BC×eq \f(9,10)，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.]
练习在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形.
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accs B＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(6)＋eq \r(2))2－2×2eq \r(3)×(eq \r(6)＋eq \r(2))×cs 45°＝8，∴b＝2eq \r(2)，
又∵cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C．
[解] 根据余弦定理，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×6＋2\r(3)×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7,12)π，
∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7,12)π，C＝eq \f(π,4).
练习2已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(\r(6)k2＋[\r(3)＋1k]2－2k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq \f(\r(2),2)，
∵0°