高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示教案，共4页。教案主要包含了引入新课，新知探究，例题演练，归纳小结等内容，欢迎下载使用。
问题1：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？平面向量与实数相乘该如何定义呢？
设计意图：在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．
追问1：已知非零向量 a，求作：
(1) a＋a＋a；
(2) (－a)＋(－a)＋(－a)．
－a
－a
－a
a
a
a
a
请观察3a 与－3a是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化？
答案：3a与－3a还是向量，3a与向量 a方向相同，3a的长度是a长度的3倍，即|3a|=3|a|；－3a与向量 a方向相反，－3a的长度是向量a长度的3倍，即|－3a|=3|a|．
A
P
Q
B
追问２：已知 eq \(→,AB)，把线段AB三等分，分点为P，Q，则 eq \(→,AP)， eq \(→,AQ)， eq \(→,BP)与 eq \(→,AB)的关系如何？
答案： eq \(→,AP)， eq \(→,AQ)， eq \(→,BP)与 eq \(→,AB)共线，其中 eq \(→,AP)与 eq \(→,AB)同向共线，长度是 eq \(→,AB)长度的； eq \(→,AQ)与 eq \(→,AB)同向共线，长度是 eq \(→,AB)长度的； eq \(→,BP)与 eq \(→,AB)反向共线，长度是 eq \(→,AB)长度的．
【新知探究】
问题１答案：
向量数乘的定义：实数λ和向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa．
向量 λa ( a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：
(1) | λa |＝| λ | | a |；
(2) 当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜ 0 时，λa与a的方向相反．
当 λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0．
当λ＝－1时，(－)a＝－a．
追问3：你对零向量，相反向量有什么新的认识？
答案：数零乘任何向量的结果为零向量，零向量与任何数的乘积为零向量，-１乘任何向量得到这个向量的相反向量．
追问４：向量数乘有什么几何意义？
设计意图：培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．
答案：把向量a沿着a的方向或a的反方向，长度放大或缩小．
如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，长度放大到原来的2倍．
追问５：如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变，得到向量ｂ，向量ｂ该如何表示？向量a，ｂ之间的关系怎样？
答案：ｂ＝3.5a；ｂ的方向与a的方向相同，ｂ的长度是a的长度的3.5倍．
问题2：我们知道实数的乘法有很好的运算律，类比猜想一下，向量数乘运算有哪些运算律呢？试着写出来并加以验证．
设计意图：通过学生的自主学习，类比概括向量数乘的运算律，使学生的知识融会贯通，更好的理解掌握教学内容．
答案：
设 λ，μR，有：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2) (λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3) λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有，.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，ｂ以及任意实数，恒有
.
【例题演练】
例1 计算：
（1）(－3) 4a； （2）3(a＋b)－2(a－b) －a；
（3） （4）(+)(a－b)－(－)(a+b)
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=

．
例２ 如图，的两条对角线相交于点，且，，用a，ｂ表示，，和．
解：在中，，．
由平行四边形的两条对角线互相平分，得：
，
，
，
．
总结：（１）向量得数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（２）向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
【归纳小结】
问题3 回忆本节课内容,回答以下问题:
(1)什么是向量的数乘运算,向量数乘运算的几何意义是什么?
(2)向量数乘运算满足哪些运算律?
答案: (1) 实数λ和向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa．
Λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．
(2)向量数乘运算满足以下运算律：
设 λ，μR，有：(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2) (λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3) λ(a＋b)＝λa＋λb．
另外需要注意的是：实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．