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    高中数学 人教版A(2019)必修二:6.4.3(第一课时)余弦定理 教学设计
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    高中数学  人教版A(2019)必修二:6.4.3(第一课时)余弦定理  教学设计01
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    数学6.4 平面向量的应用第一课时教案设计

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    这是一份数学6.4 平面向量的应用第一课时教案设计,共3页。

    第六章 平面向量及其应用
    6.4.3 余弦定理、正弦定理(第一课时)余弦定理
    教学设计
    一、 教学目标
    1. 借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系。
    2. 掌握余弦定理。
    3. 能用余弦定理解决简单的实际问题。
    二、 教学重难点
    1. 教学重点
    余弦定理及其应用。
    2. 教学难点
    余弦定理的应用。
    三、 教学过程
    1. 新课导入
    我们知道,两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。这说明,给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说,三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么,表示的公式是什么?
    2. 探索新知
    在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,根据课本P42的推理证明过程,我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理:
    余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2bccosA,
    b2=c2+a2-2accosB,
    c2=a2+b2-2abcosC。
    利用余弦定理,我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边。由余弦定理,可以得到如下推论:
    cosA=b2+c2-a22bc
    cosB=c2+a2-b22ca
    cosC=a2+b2-c22ab
    利用推论,可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。
    从余弦定理及其推论可以看出,三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式。
    如果△ABC中有一个角是直角,例如,C=90°,这时cosC=0。由余弦定理可得c2=a2+b2,这就是勾股定理。由此可见,余弦定理就是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理的特例。
    一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
    3. 课堂练习
    1.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于(  )
    A.30°      B.60°
    C.120° D.150°
    答案:B [∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,
    ∴b2+c2-a2=bc,
    ∴cos A==,∴A=60°.]
    2.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是(  )
    A.- B.-
    C.- D.-
    答案:C [由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,
    所以最大角的余弦值为cos A===-.]
    3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC(  )
    A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
    C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
    答案:C [由>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.]
    4.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为(  )
    A. B.8-4
    C.1 D.
    答案:A [由 (a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C=2abcos 60°=ab,则ab+2ab=4,∴ab=.]
    5.锐角△ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是(  )
    A.1 C. 答案:C [若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>,故 6.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=________.
    答案:0 [∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°
    =a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.]
    7.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=________.
    答案:1 [∵c2=a2+b2-2abcos C,∴()2=a2+12-2a×1×cos ,∴a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,∴a=1,或a=-2(舍去).∴a=1.]
    4. 小结作业
    小结:本节课学习了余弦定理及其推论。
    作业:完成本节课课后习题。
    四、 板书设计
    6.4.3 余弦定理、正弦定理
    余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
    即 a2=b2+c2-2bccosA,
    b2=c2+a2-2accosB,
    c2=a2+b2-2abcosC。
    推论:
    cosA=b2+c2-a22bc
    cosB=c2+a2-b22ca
    cosC=a2+b2-c22ab

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