高中人教A版 (2019)复数的四则运算精品学案

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▉【知识点1 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：.
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复
数的差对应的向量是，即向量.
如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：；
③分配律：.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有，
，.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数=(a-c)+(b-d)i，则.
故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
▉【知识点2 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根
，；
当∆=0时，方程有两个相等的实根；
当∆