高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念优质导学案

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▉【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①，即i是方程的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
▉【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①.
②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
▉一．虚数单位i及其性质（共5小题）
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（ ）条件．
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
2．以−5+2i的虚部为实部，以5i+2i2的实部为虚部的新复数是（ ）
A．2﹣2iB．−5+5iC．2+iD．5+5i
3．复数i+i2+i3+……+i2020+i2021的值为（ ）
A．0B．iC．1+iD．﹣1﹣i
（多选）4．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝csx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（ ）
A．f（x）＝acsx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcsx
C．若f(x)=2sin(π3−x)，则a=3，b＝﹣1
D．若a=3，b＝﹣1且g（x）=65，则锐角x的正弦值sinx=33+410
5．1+i+i2+i3+…+i2024＝ ．
▉二．复数的实部与虚部（共10小题）
6．若复数z满足z＝1+3i（i是虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．﹣3iB．﹣3C．3iD．3
7．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则z的虚部为（ ）
A．15iB．15C．23iD．23
8．若复数a+i1+i为实数，则实数a等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
9．已知复数z＝1﹣2i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣2iD．2i
10．已知复数z满足（1﹣i）z＝（1+i）2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．0B．iC．﹣1D．﹣i
11．若复数z=a+i1−i的实部为0，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
12．复数z＝（3﹣8i）i的实部与虚部之和是（ ）
A．﹣11B．﹣5C．5D．11
13．已知i为虚数单位，复数z=3+i1+i，则（ ）
A．z=2﹣i
B．z的虚部为﹣i
C．|z|=3
D．z在复平面内对应的点在第四象限
（多选）14．已知复数zn＝i+2i2+…+nin，n∈N*，则（ ）
A．z3的虚部是﹣4
B．|z3|＝|z4|
C．z6z6=5
D．z6z2在复平面内对应点在位于第四象限
15．已知复数z＝（m2﹣6m+8）+（m﹣2）i（m∈R）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
▉三．纯虚数（共8小题）
16．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．﹣2
17．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．0或3
18．设a∈R，（3﹣i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣3B．−13C．13D．3
19．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则a+i21+i的值为（ ）
A．1B．0C．1+iD．1﹣i
20．已知命题p：a＝﹣1，命题q：复数z＝1﹣a2+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数，则命题p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
21．任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z＝r（csθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现[r（csθ+isinθ）]n＝rn（csnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．若复数(−sin11π8−ics5π8)m(m∈N∗)为纯虚数，则正整数m的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
22．若复数z=3+mi1−2i(m∈R)为纯虚数，其中i为虚数单位，则m＝ ．
23．下列命题中，所有真命题的序号为 ．
①虚轴上的点所对应的数是纯虚数；
②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数；
③若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi一定是该方程的另一个根．
▉四．复数集C及其关系和运算（共4小题）
24．已知z1，z2，z∈复数集C，下列命题正确的是（ ）
A．3+i＞2+iB．若z是纯虚数，则z2＜0
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2D．z2＝﹣1，则z＝i
（多选）25．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2﹣2i对应的点在第二象限
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0的两个解分别为−12+32i和−12−32i
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
（多选）26．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2﹣2i的虚部为﹣2i
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0有两个解，依次为−12+32i，−12−32i
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
27．已知复数Z1=1−i1+i，集合S＝{z||z1﹣z|＝1}，集合T＝{z||z﹣z0|＝1}．
（1）若∃n∈N*使得z1n=i（i为虚单位），求n的最小值．
（2）若当z0∈C时，集合S∩T有两个子集．
①求|z0|的取值范围；
②求集合T中复数z对应点Z形成的复平面区域的面积．
▉五．复数的相等（共10小题）
28．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
29．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（ ）
A．35−15iB．−35−15iC．35+15iD．−35+15i
30．设a+3i＝（b+i）i，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3
31．已知i为虚数单位，2+ni1−mi=−i(m，n∈R)，则mn=（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
32．数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Krnecker，1823﹣1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，z1＝（1+ai）（3+i），z2＝x﹣2i（a，x∈R），且z1＝z2，则（ ）
A．x＝﹣4，a＝1B．x＝4，a＝﹣1C．x＝﹣4，a＝﹣1D．x＝4，a＝1
33．设z1、z2均是复数，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）34．已知z1，z2∈C，设z1＝1+i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若z1+z2∈R，则z2＝﹣1﹣i
B．若z12+z22=0，则|z2|=2
C．若z1=1z2，则z2=12+12i
D．若|z2|＝2，则|z2+4|的最大值为8
35．已知复数z1=(m2+1)+2mi(m∈R)，z2=asinθ+(2sinθ+4)i，θ∈（0，π），若z1＝z2，求实数a的取值范围 ．
36．在下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②复数z＝i﹣1对应的点在第四象限；
③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x＝±1；
④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
⑤“复数a+bi（a，b，c∈R）为纯虚数”是“a＝0”的充要条件；
⑥复数z1＞z2⇔z1﹣z2＞0；
⑦复数z满足|z|＝z2；
⑧复数z为实数⇔z=z，
其中正确命题的是 （填序号）
37．已知x1=1，x2=−1+3i为方程（x﹣1）（x2+ax+b）＝0，（a，b∈R）的二个根．
（1）求实数a，b的值；
（2）猜测方程的另外一个根，并给出证明．
▉六．复数对应复平面中的点（共7小题）
38．在复平面内，复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），则实数m＝（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
39．在复平面内，复数2−i1+i对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
40．复数z=1−i2+i，则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
41．设i为虚数单位，若z=1+2ii−1，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
42．复数z＝3﹣i3在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
43．复数z=(1−2i)(3+i)5在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
44．已知复数z＝（1+i）m2﹣3mi+2i﹣4，m为实数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；
▉七．由复平面中的点确定复数（共5小题）
45．已知复数z在复平面内对应的点为（﹣2，2），则1z=（ ）
A．−14+14iB．14+14iC．14−14iD．−14−14i
46．已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为A（1，a），B（a，﹣1），且z1z2＝2，则AB→=（ ）
A．（0，﹣2）B．（1，﹣3）C．（2，﹣4）D．（﹣1，﹣1）
（多选）47．在复平面内，OZ1→，OZ2→对应的复数分别为z1=12+32i，z2＝csθ+isinθ，且OZ1→⊥OZ2→，则z2可能是（ ）
A．−32+12iB．32+12iC．32−12iD．−32−12i
48．设z是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z+2与z+2i对应的点关于y轴对称，则1z= ．
49．已知A（3，m），B（2，1），C（﹣2，1），D（n，﹣2）是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量AC→，BD→对应的复数分别为z1，z2，且z1﹣z2＝﹣6+2i．
（1）求z1，z2；
（2）若复数z=z1+tz2，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围．
▉八．共轭复数（共6小题）
50．若复数z＝1﹣3i，则zz的虚部为（ ）
A．−35iB．35iC．−35D．35
51．复数5i−2的共轭复数对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
52．复数z满足zi=2−2025i，则z的虚部为（ ）
A．﹣2B．﹣2025iC．2D．﹣2025
53．已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ）
A．z1−z2=z1−z2B．|z1﹣z2|＝|z1−z2|
C．z1•z2=z1•z2D．|z1•z2|＝|z1•z2|
54．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2﹣3i，则z2的共轭复数为 ．
55．已知复数z满足z（1﹣3i）为纯虚数，z−z＝﹣2i．
（1）求z以及z；
（2）设z1=z+m−i3z+3，若|z1|＝22，求实数m的值．
▉九．复数的模（共5小题）
56．已知复数z满足i•z+3＝3i，则|z|＝（ ）
A．32B．23C．6D．3
57．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A．2B．1C．22D．12
58．设z为复数，则“z+4z为实数”是“|z|＝2”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
59．已知x，y∈R，i是虚数单位，若4x﹣i＝（3+i）y，则|x+yi|＝（ ）
A．32B．54C．52D．52
60．已知复数z1，z2满足4z1z1−3=4+3i．
（1）求复数z1；
（2）|z2|＝3，|z1﹣z2|＝4，求|z1+z2|；
（3）复数z1是关于x的方程x2﹣px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求出方程qx2+px+1＝0的两个复数根．