高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算优质导学案

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【知识点1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设为实数，那么①；②；③.
特别地，我们有，.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【知识点2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设，
化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点3 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.
(4)向量的投影
如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当与同向时，；当与反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量共线，即时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边
等号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
一．平面向量的加法（共8小题）
1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设AC→=a→，BD→=b→，则向量CE→=（ ）
A．b→-a→B．a→+3b→C．a→-b→D．12a→+32b→
2．在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足DF→=2FA→，则EF→=（ ）
A．13AB→+16AC→B．13AB→-16AC→C．16AB→+13AC→D．16AB→-13AC→
3．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AB→=a→，BC→=b→，则向量CO→=（ ）
A．12a→+12b→B．-12a→-12b→C．12a→-12b→D．-12a→+12b→
4．AB→+AD→+BD→=（ ）
A．0→B．2AD→C．2AB→D．2BD→
5．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度v1→=（m，3m）（m＞0），水流速度v2→=（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（ ）
A．3B．53C．125D．12
6．设M是◻ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA→+OB→+OC→+OD→=（ ）
A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→
7．在如图所示的方格纸中，OP→+OQ→=（ ）
A．OG→B．HO→C．OE→D．FO→
8．如图，正六边形ABCDEF中，化简BA+CD+EF= ．
二．平面向量的减法（共5小题）
9．化简AB→-AD→=（ ）
A．AD→B．AC→C．DB→D．CB→
10．下列表达式化简结果与PA→相等的是（ ）
A．AB→+BP→B．PB→+BA→C．BC→+CA→-PA→D．PB→+PC→
11．已知向量a→=（1，5），b→=（0，3），则|a→-b→|＝（ ）
A．3B．5C．3D．5
12．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为a→=(-1，3)，b→=(2，4)，则该时刻β相对于α的位移的坐标为 ．
13．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是OA→，OB→，其中O是坐标原点，则向量AB→对应的复数为 ．
三．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共6小题）
14．在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC→=3AM→，则（ ）
A．GM→=13AB→+112AC→B．GM→=-13AB→-112AC→
C．GM→=-13AB→+712AC→D．GM→=13AB→-712AC→
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若BA→=λBE→+μAC→，则λ﹣μ的值为（ ）
A．15B．725C．1625D．1
16．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（ ）
A．DA→+DP→=PA→B．DA→+AB→+BP→=DP→
C．AB→+BC→+CP→=PA→D．PA→+PB→=BA→
（多选）17．在平行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端点），AP→=aAB→+bAD→，AQ→=bAB→+aAD→，AR→=(a-0.1)AB→+bAD→，AS→=12(AP→+AQ→)，则（ ）
A．Q落在CD上
B．S落在AC上
C．R落在△ABC内
D．△ACP的面积等于△ACQ的面积
（多选）18．给出下面四个推论，其中正确的是（ ）
A．若线段AC＝AB+BC，则向量AC→=AB→+BC→
B．若向量AC→=AB→+BC→，则线段AC＝AB+BC
C．若向量AB→与BC→共线，则线段AC＝AB+BC
D．若向量AB→与BC→反向共线，则|AB→-BC→|＝AB+BC
19．如图，在等腰梯形ABCD中，2AD＝2DC＝2CB＝AB＝2a，E，F分别为AB，AD的中点，BF与DE交于点M．
（1）用AD→，AE→表示BF→；
（2）求线段AM的长．
四．平面向量的加减混合运算（共6小题）
20．化简PM→-PN→+MN→，所得的结果是（ ）
A．0→B．NP→C．MP→D．MN→
21．在△ABC中，D为BC中点，设AD→=a→，AC→=b→，则AB→=（ ）
A．2a→-b→B．a→-2b→C．2a→+b→D．a→+2b→
22．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则AB→-12AC→=（ ）
A．OA→B．OB→C．OC→D．OD→
23．MN→-MB→+NC→+CA→=（ ）
A．AB→B．BA→C．BC→D．0→
24．在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．AB→=-BA→B．AB→+BC→=AC→
C．CA→-CB→=AB→D．BC→-2CB→=3BC→
25．已知向量a→=(-3，2)，b→=(2，1)，c→=(3，-1)，t∈R．
（1）求a→+2b→-3c→的坐标表示；
（2）若a→-tb→与c→共线，求实数t．
五．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
26．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则|MA→+MB→+2MC→|的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．12
（多选）27．已知a→=(t，-2)，b→=(-4，t)，则（ ）
A．若a→∥b→，则t=±22
B．若a→⊥b→，则t＝0
C．|a→-b→|的最小值为2
D．若向量a→与向量b→的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
（多选）28．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(-3，4)，则下列说法正确的是（ ）
A．若a→∥b→，则tanθ=-43
B．|a→-b→|的最大值为6
C．若a→⊥b→，则sinθ=35
D．若a→⋅(a→-b→)=0，则|a→-b→|=26
29．若平面向量a→，b→，c→满足|a→|=1，b→⋅c→=0，a→⋅b→=1，a→⋅c→=-1，则|b→+c→|的最小值为 ．
30．已知平面向量a→，b→，且|a→|=|b→|=2，a→⋅b→=2，向量c→满足|c→-2a→-2b→|=|a→-b→|，则当|c→-λb→|(λ∈R)成最小值时λ＝ ．
六．平面向量的数乘与线性运算（共6小题）
31．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有ABAC=BDDC称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且AI→=xAB→+yAC→，则实数x+y＝（ ）
A．1B．13C．23D．2
32．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且AH→=xAB→+yAC→，则x2+y2的最小值是（ ）
A．15B．12C．1D．2
33．如图，在平行四边形ABCD中，DE=12EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且AG→=34AB→+mAD→，则实数m的值为（ ）
A．23B．1116C．79D．34
34．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则EF→=（ ）
A．16AB→-AD→B．-16AB→-AD→C．56AB→-AD→D．-56AB→-AD→
（多选）35．如图，在边长为6的等边△ABC中，CD→=2DB→，AE→=ED→，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（ ）

A．AB→⋅AC→=18
B．PA→⋅PB→=0
C．BE→=13AB→+16AC→
D．AD→在AB→上的投影向量为56AB→
36．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足APAB=BMBC=CNCA=14，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）用a→，b→表示MN→；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用a→，b→表示AG→．
七．平面向量数量积的含义与物理意义（共5小题）
37．已知向量a→，b→满足a→•b→=10，且b→=（﹣3，4），则a→在b→上的投影向量为（ ）
A．（﹣6，8）B．（6，﹣8）C．（-65，85）D．（65，-85）
38．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则cs∠AOB＝ ．
39．已知力F→=（2，3）作用于一物体，使物体从A（2，0）移动到B（﹣2，3），则力F→对物体所做的功是 ．
40．设a→，b→为单位向量，a→在b→方向上的投影向量为-12b→，则|a→-2b→|= ．
41．向量a→=(3，5)在向量b→=(1，1)方向上的数量投影为 ．
八．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题）
42．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是线段CD上的动点，则PA→⋅PB→的最小值为（ ）
A．-22B．-14C．-34D．0
43．已知如图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），A，B，C为这9个点中均不相同的三个点，则AC→⋅AB→的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
44．已知a→=(4csx，-3)，b→=(cs(x+π6)，1)且f（x）=a→⋅b→，下列有关函数的相关命题，正确的个数是（ ）
①函数|f（x）|的周期为π
②函数f（x）的一个对称中心为(π6，0)
③函数f（x）的单调递减区间为[kπ-712π，kπ-π12](k∈Z)
④若函数g(x)=f(ωx2+φ2-π3)(ω＞0)在区间[0，π2]上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（π2），则ω的值为2或23
A．1B．2C．3D．4
45．已知△ABC为单位圆O的内接等边三角形，D为AB边的中点，则OA→⋅OD→= ．
九．平面向量的投影向量（共5小题）
46．已知非零向量a→=（0，t），b→=（1，﹣4），若向量b→在a→方向上的投影向量为2a→，则t＝（ ）
A．﹣2B．﹣4C．2D．4
47．已知向量a→=(1，-3)，b→=(2，1)，则a→在b→上的投影向量为（ ）
A．(-15，-110)B．(15，110)
C．(-25，-15)D．(25，15)
48．已知向量a→与b→的夹角为3π4，且|a→|=2|b→|，则b→-2a→在a→上的投影向量为（ ）
A．52a→B．32a→C．-32a→D．-52a→
49．已知向量a→与b→的夹角为π3，若2a→-b→在a→方向上的投影向量为a→2，则|b→||a→|=（ ）
A．3B．32C．23D．13
50．已知某发射管内1个原子核裂变成α，β两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是m→=(8，6)，n→=(4，10)．
（1）写出此时粒子β相对于α的位移k→；
（2）计算k→在m→上的投影向量．
十．数量积表示两个平面向量的夹角（共5小题）
51．已知向量a→，b→满足(a→-2b→)⋅(a→+b→)=3，且|a→|=2，|b→|=1，则a→与b→的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
52．已知向量|a→|满足：|a→|=2，若〈a→，a→+b→〉=π6，则|b→|的最小值为（ ）
A．12B．1C．32D．3
53．已知a→，b→是两个单位向量，若向量a→在向量b→上的投影向量为12b→，则向量a→与向量a→-b→的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
54．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cs（A，B）＝cs＜OA→，OB→＞，余弦距离为1﹣cs（A，B）．已知点A(12，32)，B（0，﹣1），则A，B两点的余弦距离为（ ）
A．12B．-32C．2+32D．2-32
55．已知点A（2，3），B（4，﹣1），C（﹣2，1），求：
（1）CA→⋅CB→的值；
（2）∠ACB的大小；
（3）点A到直线BC的距离．
十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
56．已知向量a→=(m+1，2)，b→=(1，m)，若a→与b→垂直，则实数m的值为（ ）
A．﹣3B．-13C．13D．1
57．已知向量a→，b→满足|a→+b→|＝25，a→⊥（a→-2b→），且b→=（1，1），则|a→|＝（ ）
A．3B．2C．5D．3
58．设向量a→=（x+1，x），b→=（x，2），则（ ）
A．“x＝﹣3”是“a→⊥b→”的必要条件
B．“x=1+3”是“a→∥b→”的必要条件
C．“x＝0”是“a→⊥b→”的充分条件
D．“x=-1+3”是“a→∥b→”的充分条件
59．已知|a→|=2，|b→|=2，a→与b→的夹角为45°，要使λb→-a→与a→垂直，则λ的值为（ ）
A．2B．22C．22D．1
60．向量a→=（4，2），b→=（﹣1，2）．
（1）求向量a→+b→的模长；
（2）若向量c→=（3，﹣1），且（a→+kb→）⊥c→，求实数k的值．
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则
前提
已知非零向量，在平面内任取一点A.
作法
作，连接AC.
结论
向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则
前提
已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O.
作法
作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论
以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定
对于零向量与任一向量，我们规定.