数学必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课后练习题

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难点：利用向量法解决平面几何中的其他问题
一、平面向量基本定理
1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3、对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
二、平面向量基本定理的应用
1、平面向量基本定理唯一性的应用：
设，是同一平面内的两个不共线向量，
若，则
（2）重要结论设是平面内一个基底，
若，
= 1 \* GB3 ①当时，与共线； = 2 \* GB3 ②当时，与共线； = 3 \* GB3 ③当时，；
题型一 对基底的理解与辨析
【例1】（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【变式1-1】设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1-2】已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
题型二 用基底表示向量
【例2】如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】在中，，，若点满足，以为基底，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
（1）若，以，为基底表示向量与；
（2）若，求的取值范围.
题型三 利用平面向量基本定理求参数
【例3】已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
【变式3-1】在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 平面向量基本定理的应用
【例4】如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
【变式4-1】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式4-2】设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
6.3.1 平面向量基本定理
【题型1 对基底的理解与辨析】
1、（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
2、若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3、设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4、已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
5、若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【题型2 用基底表示向量】
1、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（ ）
A． B． C． D．
3、如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（ ）
A． B． C． D．
4、在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
5、如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示.
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
1、如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（ ）
A．1 B．－1 C． D．
3、如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则_________
4、如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则___________.
5、如图，在中，是的中点，.
（1）求；
（2）若，，求和的值.
【题型4 平面向量基本定理的应用】
1、梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2、在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
3、已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知是不共线的向量，若，则用与表示为___________.
5、已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．