高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优质第一课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优质第一课时导学案，共8页。学案主要包含了知识梳理，课堂达标等内容，欢迎下载使用。
课标要求 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
【引入】 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？
一、余弦定理及其推导
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?


探究2 在探究1中得到的结果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？


【知识梳理】
1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边________减去这两边与它们夹角的余弦的________.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝________________，
b2＝________________，
c2＝________________.
温馨提示 (1)适用范围：任意三角形.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一”.
二、已知两边及一角解三角形
例1 (1)(链接教材P43例5)在△ABC中，已知b＝2，c＝3，A＝120°，则a＝________.
(2)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.



思维升华 1.已知两边及其夹角解三角形的方法：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
2.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
训练1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3eq \r(3)，c＝2，A＋C＝eq \f(5π,6)，则b＝( )
A.eq \r(13) B.6 C.7 D.8
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝________.
三、已知三边解三角形
探究3 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，如何解三角形？




【知识梳理】
余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cs A＝________________，
cs B＝________________，
cs C＝________________.
温馨提示 余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
例2 (1)(链接教材P44T2)边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.75° B.90° C.135° D.120°
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若(a＋c－b)(a＋c＋b)＝ac，则B的大小为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)



思维升华 1.已知三角形的三边解三角形，可利用余弦定理的推论，先求角的余弦值，再求角.
2.涉及三边的二次齐次式解三角形，要构造余弦定理推论的形式来求角.
训练2 在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶eq \r(3)∶2，求A，B，C.






四、利用余弦定理判断三角形的形状
探究4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？


例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2ccs B，cs A＋cs B＝1，则△ABC一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.无法确定


思维升华 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路：
(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理.
训练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【课堂达标】
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值为－eq \f(3,5)，则三角形的另一边长为( )
A.52 B.2eq \r(13) C.16 D.4
2.(多选)下列说法中正确的是( )
A.在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形
B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求解的问题
D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝eq \r(7)，则C＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝
asin A，则△ABC的形状是________.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第一课时 余弦定理
探究1 提示 如图，设eq \(CB,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，
那么c＝a－b，①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cs C.
所以c2＝a2＋b2－2abcs C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccs A，
b2＝c2＋a2－2cacs B.
探究2 提示 a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例.
知识梳理
1.平方的和 积的两倍
2.b2＋c2－2bccs A a2＋c2－2accs B
a2＋b2－2abcs C
例1 (1)eq \r(19) [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋9－2×2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝19，所以a＝eq \r(19).]
(2)3 [由余弦定理得49＝AC2＋25－2×5×AC×cs 120°，整理得AC2＋5AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去).]
训练1 (1)A [∵A＋C＝eq \f(5π,6)，
∴B＝π－(A＋C)＝eq \f(π,6)，
∵a＝3eq \r(3)，c＝2，
∴由余弦定理得b＝eq \r(a2＋c2－2accs B)＝eq \r(（3\r(3)）2＋22－2×3\r(3)×2×\f(\r(3),2))＝eq \r(13).]
(2)3 [由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得5＝22＋b2－2×2bcs A，
因为cs A＝eq \f(2,3)，
所以3b2－8b－3＝0，
解得b＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＝－\f(1,3)舍去)).]
探究3 提示 cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
知识梳理
eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
例2 (1)D [边长为7的边所对的角α满足
cs α＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(1,2)，
∵0°