人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算综合训练题，文件包含人教A版必修二高一数学下学期同步考点讲与练621-3向量的运算原卷版docx、人教A版必修二高一数学下学期同步考点讲与练621-3向量的运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
重点：1、向量加法的三角形法则、平行四边形法则及应用；
2、向量减法的三角形法则，平行四边形法则及应用；
3、向量数乘运算的意义、运算律、向量共线定理
难点：向量加法的三角形性质；向量减法的几何意义；向量共线定理的探究及其应用。
一、向量的加法运算
1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，
向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC
3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和
【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq \a\vs4\al(＝)0＋a＝eq \a\vs4\al(a).
【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；
（2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
4、向量加法的运算律
结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
二、向量的减法
1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
（1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
（2）－(－a)＝a；
（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
（4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．
2、向量的减法
（1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（2）几何意义：以O为起点，作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(―→)) ＝a－b，
如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
三、向量的数乘运算
1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
四、向量共线
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
【注意】
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
题型一 向量的加法运算
【例1】如图，已知，求作.
（1）； （2）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）在平面内任取一点，如图所示
作则.
【变式1-1】化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
【变式1-2】向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据向量的运算法则，可得：
.故选：C.
【变式1-3】某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（ ）
A．向东南走 B．向东北走
C．向东南走 D．向东北走
【答案】B
【解析】由题意和向量的加法，得表示先向东走3km，再向北走3km，即向东北走.故选：B.
【变式1-4】正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】在正方形中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，,
又因为正方形的边长为1，所以，故选：B.
【变式1-5】如图，正六边形ABCDEF中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,
所以.故选：D.
题型二 向量的减法运算
【例2】如图，已知向量，，求作向量．
【答案】如图，（1） （2）
【解析】（1）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
（2）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
【变式2-1】化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 故选：.
【变式2-2】化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①；
②；
③；
④；以上各式化简后结果均为,故选:D
【变式2-3】下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确；故选：A
题型三 向量的混合运算
【例3】化简：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
【变式3-1】已知，，求，与．
【答案】，，.
【解析】因为，，则，
，
.
【变式3-2】在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接AC，BD相交于点O，则，故选C
【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即A不正确；
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示
由其性质有∴，即B不正确；
，即C正确；
同理
，即∴，即D不正确；故选：C.
题型四 已知向量表示其他向量
【例4】在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式4-1】如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
【变式4-2】我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
即，∴．故选：A．
【变式4-3】如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意得，，
故，所以
故．故选：A﹒
【变式4-4】如图所示，平行四边形中，，，，，试用向量，来表示，．
【答案】，
【解析】由，即，所以，
由，则，所以.
题型五 利用向量运算证明等式
【例5】如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：．
【答案】证明过程见解析
【解析】,① ,②
∴①+②,得.
∵M,N分别是AB,CD的中点,,.
【变式5-1】如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
（1）；
（2）.
【解析】（1）证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
（2）证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
【变式5-2】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.
求证：＋＋＋＝4.
【解析】证明：∵＋＋＋
，
＋＋＋＝4.
【变式5-3】已知、、分别是的边、、的中点，是平面内任意一点．求证：．
【解析】如下图所示：
由已知可得，所以，，
同理可得，，
所以，，因此，.
题型六 向量运算在几何中的应用
【例6】如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（ ）
A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】C
【解析】根据平面向量的加法的平行四边形法则，若＝，则四边形是平行四边形.故选：C.
【变式6-1】若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】由于，|，，
所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D.
【变式6-2】在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】C
【解析】由，所以四边形ABCD是平行四边形，
由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形是矩形，故选：C
【变式6-3】在平行四边形中，若，则必有（ ）
A． B．或 C．是矩形 D．是菱形
【答案】C
【解析】由题,因为,则，即平行四边形的对角线相等，则平行四边形是矩形,故选：C
题型七 向量运算在实际中的应用
【例7】有一条东西向的小河，小船以20 km/h的静水速度按北偏西方向行驶，同时河水的流速为向东10 km/h，则小船实际航行速度的大小和方向？
【答案】km/h，正北方向
【解析】如图所示：
在中，，，则，
因为，所以所以方向为正北方向.
【变式7-1】在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
【解析】设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.所以，，
因为，于是，所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
【变式7-2】2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则的最小值为（ ）
A．40 B． C． D．80
【答案】A
【解析】由题知，，即，则，
则当风叶旋转到最低点时，最小，且值为.故选：A
【变式7-3】如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行到达B地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．（参考数据：）
【答案】位移和的大小为，方向约为北偏东72°
【解析】由题图，设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行到达B地，
表示从B地按南偏东55°的方向飞行到达C地，
则飞机飞行的路程指的是.两次位移的和指的是．
依题意，有，．
在中，，
，所以，．
所以方向约为北偏东．从而飞机飞行的路程是，
两次飞行的位移和的大小为，方向约为北偏东72°.
题型八 向量共线证明三点共线
【例8】已知向量与向量不共线，，，，则一定共线的三点是（ ）
A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q
【答案】A
【解析】题设中三个向量显然不共线，，，，这些向量中只有，即，所以三点共线．
其他没有两个向量满足（是实数）的形式．故选：A．
【变式8-1】已知，，则（ ）
A．共线 B．共线 C．共线 D．共线
【答案】C
【解析】对于A，若共线，则，即，方程组无解，则A错误；
对于B，若共线，则，即，方程组无解，则B错误；
对于C，若共线，则，即，解得：，
共线，C正确；对于D，若共线，则，即，
方程组无解，则D错误.故选：C.
【变式8-2】平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
（1）以，为基底表示；
（2）求证：M、N、C三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）；
（2）证明：∵，，
∴，∴且与有公共点，所以、、三点共线.
【变式8-3】如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：三点共线.
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，，∴，
；
（2）证明：∵，∴与平行，
又∵与有公共点，∴三点共线.
题型九 利用向量共线求参数
【例9】已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，
，又因为A，B，C三点共线，
所以，即，所以，解得，故选：A
【变式9-1】已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为与共线，所以，，
所以，因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C．
【变式9-2】已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】B
【解析】由于与反向共线，则存在实数k，使得，则有，即，又向量，不共线，所以，整理得，因为，解得.故选：B
【变式9-3】设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由向量共线定理得，存在一个实数使成立，即
则，解得或，又因为向量与同方向，所以，即，故选：.
题型十 向量共线定理推论
【例10】设均为实数，已知不共线，点满足.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若三点共线，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）依题意均为实数， 不共线，点满足，
若，则，
，
所以三点共线.
（2）若三点共线，存在实数，使,
即,,，
所以，两式相加并化简得.
【变式10-1】如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
因为三点共线，所以，解得，则
所以.故选：A.
【变式10-2】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.故选：A．
【变式10-3】如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，得，因为，所以，
因为三点共线，所以，解得，故选：B
【变式10-4】在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三点共线，可得存在实数t，使
又由三点共线，可得存在实数m，使得
则，解之得，则又，()，
则，由三点共线，可得
则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：D.
6.2.1&6.2.2&6.2.3 向量的加法运算、
向量的减法运算、向量的数乘运算
【题型1 向量的加法运算】
1、已知用向量加法的三角形法则作出.
（1）； （2）.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1） （2）

2、化简等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选:C.
3、化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，故选：B
4、如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面向量的运算法则，可得.故选：A.
5、如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】连接OB.由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，
∴四边形OABC是平行四边形，，，故选:A.
【题型2 向量的减法运算】
1、如图，已知向量和向量，用三角形法则作出
【解析】作法：作向量，向量，则向量,如图所示，作向量，则
2、化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平面向量减法原则，，而，故.故选：C
3、（多选）下列结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A：，故选项A不正确；
对于B：，故选项B正确；
对于C：，故选项C正确；
对于D：，故选项D正确；故选：BCD.
4、八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B
5、如图，在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，化简．
【答案】
【解析】因为在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，
故.
即.
【题型3 向量的混合运算】
1、等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得：，故选：B.
2、已知，是两个平面向量，
（1）化简：；
（2）若，，求向量，（都用，表示）．
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）
．
（2），由①+②得，即③，
将③代入①，得，∴．将代入③，得，
故，．
3、设向量，，求．
【答案】
【解析】
4、（多选）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在AD上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】∵，点E在AD上，，
∴，
∴．故选：ABD．
5、在中，P为AB上的一点，且，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】因为在中，P为AB上的一点，且，所以，所以，因为，所以，，故选：A
【题型4 已知向量表示其他向量】
1、如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B.
2、在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．故选：B.
3、如图，在△ABC中，，，＝3，＝2，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由平面向量的三角形法则，
可知.故选：D.
4、如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．
【解析】，，，
.因为四边形为平行四边形，
所以,.
综上，，，，及.
5、“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则______．
【答案】
【解析】由题意可得．
因为EFGH是平行四边形，所以，所以，所以．
因为，所以，，则．
【题型5 利用向量运算证明等式】
1、如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝，＝，＝．证明：＝．
【解析】由题图有：，，，
所以，得证.
2、如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
【解析】由题意知，，，
由题意可知，．
．
3、如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接DE， EF， FD,
因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，
所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，将①②③式相加，
.
4、如图，在中，、、分别是、、的中点，是三角形内一点.求证：
（1）若是的重心，则；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）是的重心，，，则.
（2）、、分别是、、的中点，
，，，
【题型6 向量运算在几何中的应用】
1、在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【解析】由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选：D.
2、在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【答案】B
【解析】在四边形ABCD中，因为，所以四边形ABCD为平行四边形，
又，即，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.
3、已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（ ）
A．在的内部 B．在的边上
C．在的边上 D．在的外部
【答案】C
【解析】因为，所以即，
所以点为中点.故选：C.
4、在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C
【解析】以为邻边作平行四边形，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．故选：C.
5、在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴ 四边形一定是梯形．故选：B.
【题型7 向量运算在实际中的应用】
1、若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行2km
B．向北偏东30°方向航行2km
C．向北偏东60°方向航行2km
D．向东北方向航行(1＋)km
【答案】B
【解析】如图，易知tanα＝，所以α＝30°．
故的方向是北偏东30°．又.故选：B．
2、作用在同一物体上的两个力，当它们的夹角为时，则这两个力的合力大小为（ ）N.
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】B
【解析】如图，，，，作平行四边形，则，
因为，所以四边形是菱形，
又，是等边三角形，．故选：B．
3、一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处
【解析】如图所示，
设，分别是直升飞机的位移，
则表示两次位移的合位移，即.
在中，.
在中，，，
即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.
4、一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗?
【答案】两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
【解析】用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，
根据向量加法的三角形法则知：，可表示两次位移的和位移.
由题意知，在中，，则，，
在等腰中，，，
∴，，
两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
5、某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【解析】如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，
在中，，，则，.
故此人沿向量的方向游（即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为），
实际前进的速度大小为千米/小时．
【题型8 向量共线证明三点共线】
1、已知，则下列结论中成立的是（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线
【答案】C
【解析】,所以A，D，C三点共线.故选:C.
2、设，是两个不共线的向量，已知，，，则（ ）
A．A、B、C三点共线 B．B、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线 D．A、C、D三点共线
【答案】C
【解析】因为，，，所以，所以A、B、D三点共线.与没有倍数关系，所以三点不共线.与没有倍数关系，所以三点不共线.，与没有倍数关系，所以三点不共线.故选：C
3、已知与不共线，，，．求证：A，B，D三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】∵，，∴，
又，∴，∴，
又∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．
4、如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为在中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，所以．
又与有公共点B，所以B，E，F三点共线．
5、如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
（1）用表示；
（2）求证：B，E，F三点共线．
【答案】（1），，，，；
（2）证明见解析
【解析】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，故，
，，；
（2）证明：因为，，
所以，所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线．
【题型9 利用向量共线求参数】
1、已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
,因为三点共线，所以，
故 ，所以，故选：D
2、设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，
使得．故选：A．
3、设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
【答案】4
【解析】由题意可知与共线，所以存在实数使，
因为不共线，所以解得或，因为向量与的方向相同，所以，即.
4、设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______.
【答案】
【解析】由题意知，与共线，∴存在实数，使.
∵，不共线，∴解得或，∵与反向，
∴，.
5、设两个不共线的向量，若向量，，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？
【答案】存在，λ＝－2μ
【解析】∵要使与共线，则存在实数k使，即：.由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使与共线．
【题型10 向量共线定理的推论】
1、如图，中已知，，，，则用向量，表示______．
【答案】
【解析】设，又，，所以，
又三点共线，三点共线，所以，解得，所以．
2、设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值.
【答案】3
【解析】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点.
，，
因为，，所以，
又因为P，G，Q三点共线，所以，所以.
3、在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于三点共线，所以，
所以，
当且仅当.故选：C
4、如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足，则m=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，为的中点，，，因为、、三点共线，
设
，
又，，解得．故选：A．
5、如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为，所以，
又因为的中点，所以，
所以；
（2）因为，，，，
所以，，又因，
所以，又因，，三点共线，
所以，即.
所以
当且仅当，即时，等号成立，此时.