人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示复习练习题

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重点：平面向量的坐标表示、平面向量共线定理的坐标表示；
难点：平面向量加、减法坐标运算的应用、平面向量的共线问题。
一、平面向量正交分解
1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2、平面向量的坐标表示
（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，
把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
（2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设、，则，.
（3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.
（4）特殊向量的坐标：．
【注意】
1、在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA=a，点A的位置被向量a唯一确定，
此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．
2、平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；
应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
3、符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
4、（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，
只是两个基向量e1和e2互相垂直．
（2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，
即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
（4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
二、平面向量的坐标运算
1、已知，则，．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2、若，则；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
3、已知，则向量，共线的充要条件是
三、线段的定比分点及
设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：

(内分) (外分)() (外分) ()
（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，
则点坐标为，我们称为点分所成的比.
（2）点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
（3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；
特别地为的中点.
题型一 对正角分解概念的理解与辨析
【例1】（多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数，使得
B．若，则，且
C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O
D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则
【变式1-1】向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-4】在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．
题型二 用坐标表示平面向量
【例2】若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______.
【变式2-1】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【变式2-2】设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
【变式2-3】将向量＝(－2,－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为____.
【变式2-4】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
题型三 平面向量线性运算的坐标表示
【例3】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知向量，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知、，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型四 线段的定比分点问题
【例4】若，，且是线段靠近的一个三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A．或 B． C． D．或
【变式4-2】若过两点的直线与轴相交于点，则点分有向线段所成的比的值为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【变式4-3】（多选）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型五 用坐标解决向量共线的问题
【例5】与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-2】若向量，，则与共线的向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型六 用坐标解决三点共线问题
【例6】已知，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【变式6-1】已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式6-2】已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】若，，三点不能构成三角形，则t=______．
题型七 用向量坐标解决几何问题
【例7】顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【变式7-1】（多选）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：．
【变式7-3】如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.
6.3.2&6.3.3&6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示、
平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示
【题型1 对正角分解概念的理解与辨析】
1、下列可作为正交分解的基底的是
A．等边三角形中的和
B．锐角三角形中的和
C．以角A为直角的直角三角形中的和
D．钝角三角形中的和
2、向量为原点）的终点位于第二象限，则有
A．， B．， C．， D．，
3、平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
4、已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第______象限.
5、在直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.
【题型2 用坐标表示平面向量】
1、已知，且点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2、已知，，向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
3、已知，若，其中O为原点，求的值．
4、在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.
5、已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 平面向量线性运算的坐标表示】
1、已知向量，则（ ）
A． B． C． D．.
2、已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
3、已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为______．
4、已知向量、满足，，则________.
5、设，，，，则与的坐标分别为________
【题型4 线段的定比分点问题】
1、已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．
2、已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________．
3、若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4、已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为___________.
【题型5 用坐标解决向量共线问题】
1、下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，．
2、已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）
3、已知向量，且，则_____.
4、已知向量，且，则实数m的值（ ）
A． B．1 C． D．
5、已知向量，若，则_____.
【题型6 用坐标解决三点共线问题】
1、设，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围是________.
2、已知向量，若点A，B，C能构成三角形，则的值不可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3、向量，，．若三点共线，则的值为（ ）
A． B．1 C．或11 D．2或
4、已知，且三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 用向量坐标解决几何问题】
1、（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2、已知点，试用向量的方法求AC与BD的交点坐标．
3、已知平面向量，，，，，且A，C，D三点共线.
（1）求的坐标；
（2）已知，若A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点E的坐标.
4、若平面上三点的坐标分别为，，．
（1）证明：A、B、C三点共线；
（2）设O是坐标原点，且四边形ABOD是平行四边形，求顶点D的坐标．
5、如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．