人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示精品第二课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示精品第二课时导学案，共8页。学案主要包含了知识梳理，课堂达标等内容，欢迎下载使用。
【引入】 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？
一、正弦定理及其推导
探究1 在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？



探究2 在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，那么这个比值有什么特殊的含义吗？


【知识梳理】
1.正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.
(2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＝________＝________＝2R(R为△ABC的外接圆的半径).
2.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝________；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝______，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)
＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
(5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.
温馨提示 (1)在正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美.
(2)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
二、已知两角及任意边解三角形
例1 (链接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.





思维升华 1.正弦定理实际上是三个等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
2.因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
训练1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,6)，a＝5，则此三角形的最大边长为( )
A.3eq \r(3) B.5eq \r(3) C.eq \f(5\r(5),2) D.eq \r(21)
三、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 (链接教材P47例8)在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形.





迁移 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？



思维升华 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
(3)根据正弦定理求出第三条边.
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
训练2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cs B＝( )
A.eq \f(\r(6),3)或－eq \f(\r(6),3) B.－eq \f(\r(6),3)C.eq \f(\r(6),3) D.eq \f(1,3)
四、三角形解的个数的判断
例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.





思维升华 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画孤，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
训练3 (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
【课堂达标】
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是( )
A.a∶b＝A∶B
B.a∶b＝sin A∶sin B
C.a∶b＝sin B∶sin A
D.asin A＝bsin B
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，B＝45°，则A＝( )
A.60° B.120°
C.60°或120° D.以上答案都不对
3.在△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝5，B＝eq \f(π,4)，cs A＝eq \f(2\r(2),3)，则a＝________.
第二课时 正弦定理
探究1 提示 如图，△ABC为锐角三角形，过点A作与eq \(AC,\s\up6(→))垂直的单位向量j，
则j与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,2)－A，j与eq \(CB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,2)－C.
由向量加法的三角形法则可得eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，
所以j·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝j·eq \(AB,\s\up6(→))，
由分配律，得j·eq \(AC,\s\up6(→))＋j·eq \(CB,\s\up6(→))＝j·eq \(AB,\s\up6(→))，
即|j||eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,2)＋|j||eq \(CB,\s\up6(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－C))
＝|j||eq \(AB,\s\up6(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))，
也即asin C＝csin A，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C).
同理，过点C作与eq \(CB,\s\up6(→))垂直的单位向量m，可得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
因此eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
如图，△ABC为钝角三角形，不妨设A为钝角，
过点A作与eq \(AC,\s\up6(→))垂直的单位向量j，则j与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为A－eq \f(π,2)，j与eq \(CB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,2)－C，
仿照上述方法，同样可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
探究2 提示 观察下图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，
所以在△AB′C中，eq \f(b,sin B′)＝eq \f(b,sin B)＝c，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，
所以对任意△ABC，均有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
知识梳理
1.(1)正弦 (2)eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C)
2.(1)2Rsin C (2)eq \f(b,2R)
例1 解 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得eq \f(a,sin 45°)＝eq \f(4,sin 30°)＝eq \f(c,sin 105°)，
解得a＝eq \f(4sin 45°,sin 30°)＝4eq \r(2)，
c＝eq \f(4sin 105°,sin 30°)＝2(eq \r(6)＋eq \r(2)).
训练1 B [因为B＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,6)，
所以A＝eq \f(π,6)，则B对的边最大，
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
可得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝5eq \r(3).]
例2 解 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)，
∵0°A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为eq \f(\r(3),3)，这样的角A只有一个.
训练2 C [由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),15)＝eq \f(\r(3),3).
由a＝15>10＝b得，B