高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优质导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优质导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，教材知识梳理，质疑辨析，教材例题变式，教材拓展延伸，课外作业等内容，欢迎下载使用。
1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2. 掌握平面向量基本定理，会用基底线性表示平面向量.
【教材知识梳理】
平面向量基本定理
【质疑辨析】(正确的画“√”，错误的画“×”)
（1）已知向量a，b，则对该平面内任一向量c，都存在唯一一对实数x，y，使得c＝xa＋yb.( )
（2）基底中的向量不能为零向量．( )
（3）表示平面内所有向量的基底是唯一的．( )
（4）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( )
（5）若（），则、、三点共线.
【答案】
不共线向量 a＝λ1e1＋λ2e2
【质疑辨析】
(1) × (2)√ (3)× (4)√ (5)√
【教材例题变式】
例1.（源于P26例1）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b.试以a，b表示eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→)).

【答案】 ∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))，设eq \(MP,\s\up6(→))＝meq \(MB,\s\up6(→))，eq \(NP,\s\up6(→))＝neq \(NA,\s\up6(→))，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋meq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋m(b－eq \f(1,3)a)＝eq \f(1,3)(1－m)a＋mb，
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))＋neq \(NA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(1－n)b＋na.
∵a与b不共线， ∴n＝eq \f(1,5).
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b.
（2）如图所示，在△OAB中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，设eq \(AN,\s\up6(→))与eq \(BM,\s\up6(→))交于点P，用向量a、b表示eq \(OP,\s\up6(→)).
【答案】设, ，因为，
所以+m +m+，
+n，
因为与不共线，所以解得，所以+.
归纳总结： 将平面向量用基底线性表示的常用方法
1.结合图形，运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止．
2.通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
例2．（源于P26例2）利用向量数量积证明直径所对的圆周角是直角．
【答案】如图设为的直径，为半圆上的点，
则 ，
所以，
所以，
所以，即，
即直径所对的圆周角是直角．
【教材拓展延伸】
例4.（1）如图，在平行四边形ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量方法证明：E是线段BD的三等分点.
【答案】设.
则，.
因为A，E，F与B，D，E三点分别共线，所以存在实数，
使，于是.
因为，所以.
因为与不共线，所以，解得，
所以.于是E为线段BD（靠近D）的三等分点.
如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，
求证：DE⊥AF.
【答案】∵·＝·＝2－2，
而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.
【课外作业】
基础过关
1．设向量与不共线，若3x＋(10－y)＝(4y－7)＋2x，则实数x，y的值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
【答案】D
【详解】∵向量与不共线，∴ 解得
2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线，
和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底，
，故和共线，不能作为平面的基底，D错误.
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
4．在平行四边形中，，是对角线的交点，是的中点，又，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
所以.
5．设一直线上三点A，B，P满足（），O是直线所在平面内一点，则用，表示为（ ）
A．＝＋mB．＝m＋
C．＝D．＝＋
【答案】C
【详解】，解得.
6．（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】BC
【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线.
7．如图所示，向量可用向量，表示为________．
【答案】
【详解】由图可知，为平面内的一组正交单位基底，点在方向有个单位，在方向有个单位，所以.
8．在中，是边上一点.若，则的值为_______．
【答案】
【详解】，
，.
9.如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设.
(1)用向量表示； (2)若＝λ，求实数λ的值．
【答案】（1）∵A是BC的中点，则，即，
整理得，可得，
故.
（2）由题意可得，
∵三点共线，则，且，
则，
可得，解得，故.
能力提升
10．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（ ）
A．m>0，n>0B．m>0，n