高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的概念同步测试题

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难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系。
一、向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
【注意】
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移；
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素；
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
二、向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
【注意】
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
三、向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【注意】（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
【注意】
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
四、向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线.
【注意】
1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
题型一 平面向量的基本概念
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
【答案】D
【解析】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，
力既有大小又有方向，是向量，故D正确，故选：D．
【变式1-1】下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.
【变式1-2】下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】若，但是两个向量的方向未必相同，所以不一定成立，A不正确;
若，则两向量的方向相同，模长相等，则，B正确;向量不能比较大小，C不正确;
若，则，D，不正确.故选:B.
【变式1-3】下列说法：
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C
【变式1-4】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】A
【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A
题型二 平面向量的几何表示
【例2】如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个.
【答案】39
【解析】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个.
【变式2-1】在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
（1），点A在点O北偏西45°方向；
（2），点B在点O正南方向．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）∵，点A在点O北偏西45°方向，
∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
（2）∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
【变式2-2】某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
【解析】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，
则向量，和如下所示：
.
【变式2-3】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，向量如图所示，由已知可得，
为正三角形，所以．又，，
所以为等腰直角三角形，所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
题型三 相等向量与共线向量
【例3】有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.
【解析】，则的方向不确定，则不一定相等， ①错误;
若，则的方向不一定相同，所以四边形不一定是平行四边形，②错误;
若，，则，③正确；若，，则时，不一定成立，所以④错误.综上，假命题的是①②④，共3个.故选:C.
【变式3-1】如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有（ ）
A．12个 B．18个 C．24个 D．36个
【答案】C
【分析】利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出.
【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与平行且模为的所在的向量，的格点图中包含12个小正方形，所以有12条对角线，与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.
【变式3-2】如图，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，四边形ABCD是等腰梯形得，且，，所以选项A错误，选项B正确，又向量不能比较大小，所以选项C、D错误，故选：B.
【变式3-3】如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，.
【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，
有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，
有，，，，.
题型四 平面向量的简单应用
【例4】在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【答案】A
【解析】∵，∴，又，∴四边形ABCD是梯形，故选：A.
【变式4-1】如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
【解析】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，
所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，故△BDE∽△DCF.
【变式4-2】如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【解析】因为，所以且，所以四边形是平行四边形，
所以且.又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，又与的方向相同，所以
6.1 平面向量的概念
【题型1 平面向量的基本概念】
1、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】根据向量的定义即可判断.
【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．
2、设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，没有意义，错误．对于B，C，D，当时，选项B，C，D都正确；当时，由可知，与同向或反向，且，故B，C不全面.故选：D．
3、下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；零向量的模等于0，故④错.故选：B.
4、下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【解析】一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A不正确；
B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D不正确.故选：B
5、（多选）下列说法错误的有（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若直线，则一定存在唯一实数t，有，
D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
【答案】ABD
【解析】对于A：共线的两个单位向量相等或互为相反向量，故A错误；
对于B：相等向量的起点不一定相同，故B错误；
对于C：因为直线，所以，且、均不为零向量，所以一定存在唯一实数，有，故C正确；
对于D：向量，共线，即，所以或、、、在一条直线上，故D错误；故选：ABD
【题型2 平面向量的几何表示】
1、如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
【解析】模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；
模为的向量；模为的向量共有个模，
下面对方向分析，正方形的边对应的向量共有个方向，
边长为的正方形的对角线对应的向量共个方向；
的矩形的对角线对应的向量共个方向；
的矩形对角线对应的向量共有个方向，所以共有个方向
2、一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）．
【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
3、某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【答案】（1）见解析；（2）米
【解析】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，所以|米.
4、如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为的向量共有几个？
【答案】24个；2个.
【解析】每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为，因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个.
如图，与向量方向相同且模为的向量共有2个.
5、一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地
（1）在如图所示的坐标系中画出，，，.
（2）求B地相对于A地的位置.
【答案】（1）作图见解析（2）B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”
【解析】（1）向量，，，如图所示，
（2）由题意知，所以，，则四边形ABCD为平行四边形.所以，
则B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”.
【题型3 相等向量与共线向量】
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，则与方向相同或相反
【答案】B
【解析】对于A： 平行于任何向量,若，满足，，但不一定满足，故A错；
对于B：根据向量传递性，正确；对于C：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；对于D：零向量与任何非零向量都平行，且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量，那么方向相同或相反，或者不同，故D错.故选：B.
2、如图，四边形中，，则相等的向量是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【解析】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，
故，，，，故选：D.
3、如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与方向不同，与均不相等；与方向相同，长度相等，.故选：D.
4、如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=|| B．与共线 C．与共线 D．与共线
【答案】C
【解析】因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；
因为，且与共线，故与共线，所以B正确；
直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；
因为= ，所以与共线，故D正确；故选：C.
5、如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
【题型4 平面向量的简单应用】
1、下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【答案】D
【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；
由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；
由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D
2、如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证：.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，，故.