高中数学平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

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难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题。
一、平面向量数量积的坐标表示
若，，则
两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。
二、两个向量垂直的坐标表示
若两个向量垂直，则
三、用坐标表示的三个重要公式
1、向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12
2、两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2
3、向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，
则csθ=a∙bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
题型一 平面向量数量积的坐标计算
【例1】设，，，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，
因为，所以，故选：C
【变式1-1】若向量与向量共线，则（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】因为向量与向量共线，所以，解得，，所以.故选：D.
【变式1-2】在平行四边形中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，从而，所以．故选：A
【变式1-3】已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ）
A．12 B．4 C．6 D．3
【答案】C
【解析】网格纸上小正方形的边长为1，
如图，在平面直角坐标系中，，，
，，故选：C．
【变式1-4】已知矩形中，，，，，则（ ）
A．6 B．10 C．14 D．38
【答案】C
【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系.
则, 由，则, 由，则 所以, 所以故选：C
题型二 利用坐标研究向量垂直问题
【例2】已知，，那么与垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
对于A：，此时，故A错误；
对于B：，则，故B正确；
对于C：，此时，故C错误；
对于D：，则则，故D错误；故选：B
【变式2-1】设向量，，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以故选：C
【变式2-2】已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，，，则，由于，则，即：，解得：.故选：D
【变式2-3】已知，．若向量满足且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，，所以由与得，解得，故.故选：D.
【变式2-4】已知，，，，若△ABC是直角三角形，则k的值为（ ）
A．-1，-2或8 B．-1，-2或3 C．-2或3 D．-1或3
【答案】B
【解析】因为，所以．
因为，所以k＝-3，-2，-1，0，1，2，3．
当为直角三角形时，应有，或，或．
由，得2k＋4＝0，所以k＝-2．
，由，得，所以k＝-1或3．
由，得，所以k＝8（舍去）．所以k的值为-1，-2或3，故选:B．
题型三 利用坐标研究平面向量的模
【例3】已知，是单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，是单位向量，所以，所以，所以，所以，故选：D
【变式3-1】已知向量，，，则（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【解析】由，可得由，可得
又，则，解之得故选：C
【变式3-2】已知 ，，若，且，则实数a的值等于（ ）
A．1或2 B．或1 C． D．
【答案】B
【解析】由，又，
所以，解得或（经检验均满足）.故选：B
【变式3-3】在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系.
设，，，则，，，，
则，即，所以.
由，得，
所以，.
由，得，即，
所以，即.所以的取值范围是，故选：D.
题型四 利用坐标研究平面向量的夹角
【例4】已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以可设，，则，，
因为，所以，即.
则，故选：A.
【变式4-1】在中，，D为BC的中点，点E满足，直线CE与AD交于点P，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，
因为D为BC的中点，故，则，
故，
所以.故选：B.
【变式4-2】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，由题意得：且，解得：且，故选：D
【变式4-3】已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为与的夹角是钝角，所以，且，
解得且.故选：D.
题型五 利用坐标求数量积的最值范围
【例5】已知平面向量满足，，，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】不妨设，则，
所以，即
所以，即，当且仅当时等号成立，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
【变式5-1】在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是以为坐标原点，建立直角坐标系，
，因为是线段上的点，
所以，所以，
所以 所以，
，
当时，有最大值，当时，有最小值.
所以的取值范围是.故选：B.
【变式5-2】在菱形ABCD中，，点P在ABCD所在平面内，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：设交于点，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，易得，，
设，则，
则
，当时，取得最小值时，此时，.故选：C.
【变式5-3】边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】A
【解析】如图：以正六边形的中心为原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，，
因为M为边CD上的动点，所以，即，解得
所以，令，则结合二次函数的性质可知，故选：A
【变式5-4】在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】依题意作上图，点P是在以C为圆心，半径为1的圆周上运动，以C原点，CB为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系.
设CP与CB的夹角为 ，则 ，
则有： ， ，
，其中 ，
根据三角函数 的性质，当 时， 取最小值-13+1=-12，
当 时，取最大值13+1=14，∴.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【题型1 平面向量数量积的坐标计算】
1、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以.故选：B
2、已知为互相垂直的单位向量，且，，那么______．
【答案】
【解析】由题设，，所以，即，且，即，则.
3、如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，令，，则，，，
所以，所以，，所以，故选：C
4、如图，已知菱形的边长为，，，则__________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知，.设,则，
因为，所以，即，解得，，
所以，所以.
5、已知为原点，点在单位圆上，点，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】∵，，∴.
∴，∴.
∴，即，解得.∴.故选：A.
【题型2 利用坐标研究向量垂直问题】
1、已知向量，且，则x＝（ ）.
A．8 B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】由题意得：，解得：.故选：A
2、已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．3或 B．或1 C．3或1 D．或
【答案】C
【解析】，，则，即解得或3.故选：C.
3、平面向量.若 ，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】，，，
，，解得，故选：B
4、已知，，若 ，则实数______．
【答案】
【解析】，,,
，，解得.
5、（多选）在平面直角坐标系中，，分别是与，轴正方向相同的单位向量，对于直角，若，，则实数可能的取值为（ ）
A．－1 B．2 C．－6 D．
【答案】AC
【解析】由题可设，则，，，
因为为直角三角形，则或或，
若，则，解得，若，则，解得，
若，则，即，则，无解，
故实数可能的取值为-1，-6.故选：AC.
【题型3 利用坐标研究平面向量的模】
1、平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，由平面向量数量积的定义可得，
因此，.故选：B.
2、向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，解得：.故选：A.
3、已知是边长为4的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且，，BD与CE交于点G，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以所在的直线为轴，的垂直平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为是边长为4的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且，，所以,则
设，则，，
因为与共线，所以，
因为，所以,所以，所以，
所以解得，即，
所以,
所以，所以，故选：C
4、已知，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，所以当时，的最大值为3.故选：B
5、已知向量，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
所以，，
故当时，取得最小值.故选：C.
【题型4 利用坐标研究平面向量的夹角】
1、已知矩形的边长满足，点满足，则的值为___________.
【答案】
【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴
建立如下图所示的平面直角坐标系，设，则点A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），，则点P（1，），
∴，，因此，，，
．．
2、若分别是轴正方向上的单位向量，且，，若，的夹角为钝角，则实数m的范围为______．
【答案】
【解析】∵，的夹角为钝角，且，不平行
又，解得．
3、已知向量，若的夹角是锐角，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】因为向量，且的夹角是锐角，由向量的夹角公式可知：且与不同向共线，由可得：，解得：，由向量可知：与不可能同向共线，综上可知：.
4、已知点，向量．
（1）若，求实数k的值；
（2）求向量与向量所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，则，且
由，可得，解得
（2）因为，则，
则所以
5、已知，，，，且.
（1）求的值；
（2）求向量与向量夹角的余弦.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，，，，，
则，
因为，则有，解得
（2）由（1）可知，设与的夹角为，
则
【题型5 利用坐标求数量积的最值范围】
1、已知，，，为坐标原点，是直线上一点，求取得最小值时点的坐标．
【答案】
【解析】由题意设，则，所以，，，从而．
所以当时，取得最小值．此时．
2、如图，在等腰直角中，斜边为，M，B为BC上的动点，且，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设，则，，所以．
，所以，
所以时，取最小值，或时，取最大值6，故选：C．
3、如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示平面直角坐标系：则，
当点P在CD上时，设，则，
所以；
当点P在BC上时，设，则，
所以；
当点P在AB上时，设，则，
所以；当点P在AD上时，设，
则，所以；
综上：的取值范围是.故选：D
4、已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，，
当时，故选：C.
5、已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若，求与夹角的大小；
（3）试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【答案】（1），，；（2）；（3），最小值
【解析】（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）由（1）知，，，所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，
由（1）知，，，，
所以，
又因为，所以当时，有最小值为，此时点的坐标为.