高中数学平面向量的运算随堂练习题

这是一份高中数学平面向量的运算随堂练习题，文件包含人教A版必修二高一数学下学期同步考点讲与练624向量的数量积原卷版docx、人教A版必修二高一数学下学期同步考点讲与练624向量的数量积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
难点：1、平面向量数量积的概念；2、利用平面向量数量积求解模长与夹角等.
一、向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，
则（）叫做向量与的夹角．
（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．
（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2、向量的数量积的定义
（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；
（2）记法：向量与的数量积记作，即；
零向量与任一向量的数量积为0；
3、向量在上的投影向量
（1）设，是两个非零向量，，，
考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．
（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积
3、向量数量积的物理背景
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。
二、平面向量数量积的性质与运算律
1、平面向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）cs θ＝；
（5）
2、平面向量数量积满足的运算律
（1）；
（3）(λ为实数)；
（3）；
（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；
两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．
（5）平面向量数量积运算的常用公式

三、求平面向量数量积的方法
（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；
（2）运算律转化法：由可得如下运算公式：；；；
（3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。
题型一 平面向量数量积的运算
【例1】已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．
【答案】3
【解析】向量和向量的夹角为，，，又，.
【变式1-1】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A
【变式1-2】已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为是等边三角形，所以.所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.
所以.故选：B
【变式1-3】（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A． B．不与垂直
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；
对于B，，
所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，所以组成三角形的三边，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.故选:ACD.
【变式1-4】已知，，且向量与的夹角为120°，则______.
【答案】-268
【解析】
.
【变式1-5】已知向量，，满足，，，，，则_________.
【答案】6
【解析】由，得，两边平方，得，因为，
所以，得.
题型二 平面向量模的相关运算
【例2】已知，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】因为，，，所以，故选：B
【变式2-1】已知，．若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为，所以 ，所以 ，
又 .故选：A.
【变式2-2】在中，，若D为BC中点，则为_________．
【答案】
【解析】，所以，
故，，
两式相减得 ，所以，所以＝.
【变式2-3】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.
【答案】
【解析】由图知：，则，
又，则.
【变式2-4】已知平面向量满足，则的最大值是__.
【答案】
【解析】由，得，
所以，当和共线时等号成立，
所以，即，所以，
又，当时取等号.
所以的最大值是.
题型三 平面向量的夹角问题
【例3】已知向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量，满足，由，可得，即，即又由，可得，
即，解得，即，又因为，
因为，所以，即与的夹角为.故选：B.
【变式3-1】已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D
【变式3-2】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，故选：A
【变式3-3】已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的夹角为锐角，且不同向，，解得：且，实数的取值范围为.故选：B.
题型四 平面向量的垂直问题
【例4】已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.
【答案】11
【解析】因为平面向量，的夹角为，且，所以，
因为，所以，
所以，解得.
【变式4-1】若与都是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】因为与都是非零向量，所以，
故“”是“”的充要条件.故选：C.
【变式4-2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.
【变式4-3】已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.
故选：C.
题型五 求平面向量的投影向量
【例5】若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C
【变式5-1】已知向量，且，则向量在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，，则向量在上的投影向量.故选：D
【变式5-2】已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设的中点为，则，所以，
所以外心与中点重合，故为直角三角形.
设，则，，，
设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为.故选：C.
【变式5-3】已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】C
【解析】由题意得，,，
当时，有最小值，即，则在上的投影向量为 ，故选：C
题型六 平面向量数量积的最值
【例6】已知向量满足，，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，可得可变形为，由可知，，解得
【变式6-1】若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由已知有，∴，得，
∴，当且仅当时取等号.即的最大值为.
【变式6-2】（多选）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】BC
【解析】由题意：
因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，
所以，所以，故选：BC．
【变式6-3】若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为等边三角形，是边的中点，故,,
又是线段上任意一点，故设，
因为，所以.
故,
又,故.故选：C.6.2.4 向量的数量积
【题型1 平面向量数量积的运算】
1、若，且和的夹角为，则_______
【答案】
【解析】因为，的夹角为，所以.
2、已知是边长为的等边三角形，则________．
【答案】
【解析】.
3、已知菱形的边长为a，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，在中，，
，又，所以.故选：D.
4、在边长为2的等边三角形中，，，则______．
【答案】
【解析】因为，所以为的中点即，∵，∴，∴.
5、已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.
【答案】
【解析】由题意得，所以.
【题型2 平面向量模的相关运算】
1、已知非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【解析】由两边平方得，，.
所以.
2、设向量、满足，则_______．
【答案】2
【解析】，故.
3、已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【解析】∵向量满足，，，
，，
，，故选：D
4、已知，若向量在向量上的投影向量为，则______.
【答案】2
【解析】设，的夹角为，则，因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以.
5、平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，，所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
【题型3 平面向量的夹角问题】
1、已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴．∵，均为单位向量，可得．∴，解得．设与的夹角为，则，
结合，可得．故选：A．
2、已知单位向量的夹角为，向量 ，则的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由单位向量的夹角为，得，
，
，，
于是得，而，即，
所以的夹角等于.故选：C
3、已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，由得，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故选：B.
4、平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，所以向量，，间的夹角均为，不妨设所以，
，
所以，
因为，所以，即与的夹角为.故选：A
5、已知向量､的夹角为，且，设，.
（1）求；
（2）试用来表示的值；
（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）.
（2）.
（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.
其中，而，
于是实数的取值范围是.
【题型4 平面向量的垂直问题】
1、已知，，若，，则______．
【答案】
【解析】因为，所以即，
所以.
2、已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】因为、为非零向量，且，，
因此，“”是“”的充要条件.故选：C.
3、已知满足，则的形状一定是___．
【答案】直角三角形.
【解析】由，得，
所以，所以，所以，
，即，是直角三角形.
4、已知向量，满足，，，则______．
【答案】3
【解析】∵，∴，∴所以.
5、已知，．
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若与垂直，求当k为何值时，？
【答案】（1）；（2）；（3）3
【解析】（1）由可知，两向量的夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，；所以，.
（2）由题意可知，若，则
，所以.
（3）由与垂直可得，即；
若，则，
即，得，所以.当时，.
【题型5 求平面向量的投影向量】
1、已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为，
2、已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，又，，代入可得，，
则，其中为与的夹角，解得.则向量在向量上的投影向量为.故选：A
3、已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，
所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B
4、己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，所以是的中点，即是圆的直径，且，又，，所以，所以，∴，所以在上的投影向量为.故选：A.
5、已知平面向量，满足，，．
（1）求的值；
（2）设在上的投影向量为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，即，解得；
（2）在上的投影向量为，故.
【题型6 平面向量数量积的最值】
1、已知平面向量，，满足，，则的最大值是___________.
【答案】20
【解析】设，，让保持不动，易知：当都与反向时，，都最大，且最大值分别为5，4，且，此时也最大为1，所以（当且仅当都与反向时取等号）．
2、已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以 ，所以，即，
由基本不等式的性质可知，，，
所以．故选：C．
3、已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以恒成立，所以恒成立，
所以，所以，
所以，所以的最大值为，故选：A
4、在中，，，，，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意得，，
则
，故的最大值为1.
5、）如图：直角三角形ABC中，ACBC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点，
（1）若M是CD的中点，求的值；
（2）)·的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是的斜边上的中线，
，得，，
．
（2）设，则．其中
是的中线，，
得，
当且仅当时，的最小值为．
即当时，的最小值为．