高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的应用随堂练习题

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一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤：
1、线性运算法
（1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；
（2）利用基底表示相关向量；
（3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
（4）把计算结果“翻译”为几何问题。
2、坐标运算法
（1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；
（2）把相关向量坐标化；
（3）用向量的坐标运算找到相应关系；
（4）利用向量关系回答几何问题。
二、平面几何中证明问题的具体转化方法
1、证明线段，可转化为证明；
2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；
3、证明两线段，只需证明数量积；
4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。
题型一 利用向量证明线段垂直
【例1】如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
（1）用表示；
（2）如果，用向量的方法证明：.
【变式1-1】用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【变式1-2】如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【变式1-3】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
题型二 利用向量证明线段平行
【例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【变式2-1】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
题型三 利用向量求线段长度
【例3】已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式3-2】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【变式3-3】在平面上，，.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 利用向量求几何夹角
【例4】已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
题型五 利用向量判断多边形形状
【例5】已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式5-1】满足的△ABC（ ）
A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
【变式5-2】在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-3】在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
6.4.1 平面几何中的向量方法
【题型1 利用向量证明线段垂直】
1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
2、如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
3、已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．
求证：且
4、在中，，对任意，有.
（1）求角；
（2）若，，且、相交于点.求证：.
【题型2 利用向量证明线段平行】
1、设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
2、若分别是平面四边形的边的中点.
（1）求的值；
（2）证明：四边形为平行四边形.
3、已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，.
（1）将用表示；
（2）证明：四边形为梯形．
【题型3 利用向量求线段的长度】
1、在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
A． B． C．或 D．或
3、设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是_____.
4、已知四边形是矩形，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 利用向量求几何夹角】
1、如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________.
2、如图，在中，已知，，，且.求.
3、中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4、如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
（1）求线段，的长；
（2）求的余弦值.
【题型5 利用向量判断多边形形状】
1、已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形
2、在中，若，则的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断
3、在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
4、若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形