高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优秀导学案，共6页。
[重点] 向量共线的坐标表示．
[难点] 向量共线的坐标表示的应用．
知识点 两个向量共线的坐标表示
[填一填]
(1)向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[答一答]
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明b≠0吗？
提示：在共线向量定理中a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明b≠0，而在“本问”中当b＝0时也成立，故不需注明b≠0.
2．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？
提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
3．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝2时，a与b共线，且方向相同．
解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，
∴x2－4＝0，∴x＝±2，
当x＝－2时，a与b方向相反．
∴当x＝2时，a与b共线且方向相同．
类型一 向量共线的坐标表示
[例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[分析] 先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．
[解] 因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－eq \f(1,3).
这时ka＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，且a－3b与－eq \f(1,3)a＋b的对应坐标异号，故当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.
[变式训练1] (1)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( B )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up15(→))同方向的单位向量为( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))
解析：(1)由向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3.
(2)由已知得eq \(AB,\s\up15(→))＝(3，－4)，所以|eq \(AB,\s\up15(→))|＝5，因此与eq \(AB,\s\up15(→))同方向的单位向量是eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
类型二 三点共线问题
[例2] (1)已知eq \(OA,\s\up15(→))＝(3,4)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(7,12)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(4,8)，eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(6,12)．∴eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up15(→))，即eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(AC,\s\up15(→))共线．
又∵eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(AC,\s\up15(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))共线，
∵eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用eq \(AB,\s\up15(→))λeq \(AC,\s\up15(→))；二是利用坐标运算.
[变式训练2] 已知eq \(OA,\s\up15(→))＝(1,1)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(3，－1)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若eq \(AC,\s\up15(→))＝2eq \(AB,\s\up15(→))，求点C的坐标．
解：(1)由题意知，eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(a－1，b－1)，若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up15(→))∥eq \(AC,\s\up15(→))，即2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，故a＋b＝2.
(2)∵eq \(AC,\s\up15(→))＝2eq \(AB,\s\up15(→))，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
类型三 利用向量共线解决几何问题
[例3] 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
[证明]
如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令
|eq \(AD,\s\up15(→))|＝1，则|eq \(DC,\s\up15(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up15(→))|＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵eq \(ED,\s\up15(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
eq \(BC,\s\up15(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴eq \(ED,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))，∴eq \(ED,\s\up15(→))∥eq \(BC,\s\up15(→))，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD，
∵M为EC的中点，∴M(0，eq \f(1,2))，
∴eq \(MD,\s\up15(→))＝(－1,1)－(0，eq \f(1,2))＝(－1，eq \f(1,2))，
eq \(MB,\s\up15(→))＝(1,0)－(0，eq \f(1,2))＝(1，－eq \f(1,2))．
∴eq \(MD,\s\up15(→))＝－eq \(MB,\s\up15(→))，∴eq \(MD,\s\up15(→))∥eq \(MB,\s\up15(→)).
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．
1向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行.
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练3] 如图所示，已知点A(2,0)，B(2,2)，C(1,3)，求AC和BO的交点D的坐标．
解：因为eq \(OD,\s\up15(→))，eq \(OB,\s\up15(→))共线，
所以可设eq \(OD,\s\up15(→))＝λeq \(OB,\s\up15(→))＝(2λ，2λ)，λ∈R，
从而eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(OD,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(2λ－2,2λ)，
eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(－1,3)，
由eq \(AC,\s\up15(→))，eq \(AD,\s\up15(→))共线(平行)，
可知(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0，所以λ＝eq \f(3,4)，
所以eq \(OD,\s\up15(→))＝(2λ，2λ)＝(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))，
所以点D的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))．
1．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝( A )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A.
2．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是( C )
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
解析：由已知得b－c＝(3,3)，∵a＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0.∴a与(b－c)共线．
3．已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq \r(3))．若a－2b与c共线，则k＝1.
解析：a－2b＝(eq \r(3)，1)－(0，－2)＝(eq \r(3)，3)，
∵a－2b与c共线，∴存在实数λ使λ(eq \r(3)，3)＝(k，eq \r(3))，

4．已知向量a＝(2x,7)，b＝(6，x＋4)，当x＝3时，a＝b；当x＝－7时，a∥b且a≠b.
若a∥b，则2x(x＋4)－42＝0，解得x＝－7或x＝3.
当x＝3时，a＝b，∴x＝－7时，a∥b且a≠b.
5．已知向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)．
由于点A，B，C能构成三角形，则eq \(AC,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))不共线，
所以3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠eq \f(1,2).