人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优秀导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优秀导学案，共3页。
[重点] 平面向量的正交分解及坐标表示．
[难点] 平面向量的坐标运算．
一、自主学习，夯实基础【检、导】
知识点 平面向量加、减运算的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(x2，y2)，eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
[答一答]
2．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？
提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y).

二、合作探究，成果展示【议、展、评】
任务一：题型一 平面向量的坐标表示
[例1] 在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
[解析] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cs45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
a2＝|a|sin45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
b1＝|b|cs120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
c1＝|c|cs(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－2.
∴a＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)．
[答案] (eq \r(2)，eq \r(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) (2eq \r(3)，－2)
任务二：题型二 平面向量加、减运算的坐标运算
[例2] 已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))的坐标为________．
[解析] 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以eq \(AB,\s\up15(→))＝(1,0)，eq \(BC,\s\up15(→))＝(0,1)，eq \(AC,\s\up15(→))＝(1,1)，所以eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．
[答案] (2,0)
[变式训练2] 已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为(x，y)，在▱ABCD中，eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))，
又eq \(AD,\s\up15(→))＝(x＋2，y－1)，eq \(BC,\s\up15(→))＝(4,1)，
∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝4，,y－1＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
∴顶点D的坐标为(2,2).
三、 检测训练，拓展提升 【测】
1．已知eq \(MN,\s\up15(→))＝(2,3)，则点N位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
解析：因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
2．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( C )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1，3)．
3．向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( D )
A．x>0 B．x