高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质课时作业

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1、判断函数奇偶性的方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
（1）已知函数的奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
（4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性
①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．
②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
（5）利用函数的奇偶性求最值
①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则
②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。
考点一 函数奇偶性的判断
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
（2）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（3）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（4），故，故为非奇非偶函数.
2．下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有（ ）
A．B．C．D．
【解析】函数为非奇非偶函数，故A错；函数为偶函数，故B错；函数，满足 ，故是奇函数，在定义域R上，是单调递增函数，故C正确；函数在 上是增函数，在 上是增函数，在定义域上不单调，故D错，故选：C
3．下列四个函数中,在上为增函数且为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】在单调递减且不是奇函数，故A错误；在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；在上为增函数且为奇函数，C正确；是偶函数，D错误.故选：C
4．【多选】已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
【解析】对于A选项，因为且
，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误
对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误，对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确，故选：BD
5．若函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A．函数是奇函数B．函数是偶函数
C．函数是偶函数D．函数是奇函数
【解析】因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；故选：C
6．已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数；
(2)因为在上单调递增， 故函数在上单调递减，所以，
因为当时，恒成立，转化为，即可，所以，
则实数的取值范围为．
7．已知函数．
(1)判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
(2)用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；
(3)求f（x）在[－2，－1]上的值域．
【解析】(1)f（x）为奇函数．由于f（x）的定义域为，关于原点对称，
且，所以f（x）为在上的奇函数
（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）
(2)证明：设任意，，
有．
由，得，
，即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增．
(3)由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，
故f（x）的最大值为，最小值为，
所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]．
8．已知函数.
(1)判断奇偶性；
(2)当时，判断的单调性并证明；
(3)在（2）的条件下，若实数满足，求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数；
(2)函数是上的单调增函数，
证：任取且，则
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数是上的单调增函数；
(3)解：由（2）知函数是上的单调增函数，所以，解得，
所以的取值范围为.
考点二 抽象函数的奇偶性
9．已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有．
(1)试判断的奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为函数的定义域为，
令，得．令，得，
即，所以函数为奇函数．
(2)由（1）知函数为奇函数，又知函数的定义域为，在上为增函数，所以函数在上为增函数．因为，即，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
10．定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
①②若_____________，，求实数的取值范围.
【解析】（1）取，得，即，∴，∵，又，得，可得；
（2）∵函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得，移项得∴函数是奇函数；
（3）选①：∵是奇函数，且在上恒成立，∴在上恒成立，且；∴在R上是增函数，∴在上恒成立，∴在上恒成立，令.由于，∴.∴，∴.选②：是奇函数，且在上有解，∴在上有解，且；∴在R上是增函数， ∴在上有解，∴在上有解，令.由于，∴.∴，∴.
11．设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
【解析】(1)因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数， ，所以满足题意.
(2)令，则由得，
即得，故是奇函数．
(3)，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
考点三 已知函数的奇偶性求函数值
12．已知函数f(x)为奇函数，当时，，则___．
【解析】为奇函数，当时，，.
故答案为：.
13．已知函数是偶函数，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【解析】为偶函数，，，
故选：D
14．设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由已知可得.故选：B.
15．已知定义在上的偶函数满足，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】依题意，是偶函数，，令，得，
由于，所以，令，得，
令，得，以此类推，可知.故选：C
16．已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【解析】因为，所以有，因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以，因此由，
故答案为：
考点四 已知函数的奇偶性求解析式
17．已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
18．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【解析】时，，是奇函数，此时
故答案为：
19．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】当时，函数，根据二次函数的图形与性质，可得单调递减的区间是，又因为函数为定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，所以当时，函数单调递减的区间是，综上可得，函数单调递减的区间是.故选：C.
20．已知.
(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
(2)证明：函数在区间上是严格增函数.
【解析】(1)，则，而时，，又函数是偶函数，
于是得，所以当时，.
(2)且，则，
因，则，，，即，有，
所以函数在区间上是严格增函数.
21．已知函数是上的偶函数，当时，.
(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)求当时，函数的解析式.
【解析】(1)，且，则，
∵，且，∴，∴，即，
∴函数在上单调递增；
(2)当时，，∴，又函数是上的偶函数，
∴，即当时，.
22．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【解析】 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，故．
又，联立可得，．
考点五 已知函数的奇偶性求参数值
23．已知是偶函数，则实数a的值为___________.
【解析】由题意恒成立，即，恒成立，所以．
故答案为：．
24．若函数是上的偶函数，则的值为______.
【解析】函数是定义在上的偶函数，
，即．，，，∴,
故答案为：.
25．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，所以，即，所以，所以.故选：C
26．若函数是定义在上的偶函数，则_____．
【解析】由题意得：，解得：，又因为为偶函数，所以，即，解得：，所以.故答案为：
27．已知函数为奇函数，则____________.
【解析】函数，定义域为由函数为奇函数，则
即，解得，经检验符合题意.故答案为：.
28．为偶函数，则___________.
【解析】由为偶函数，得，，
不恒为，，，，故答案为：.
29．已知函数为奇函数，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【解析】函数为奇函数，
当时，，所以，
所以，，故．故选：C.
30．已知二次函数.
(1)若为偶函数，求在上的值域：
(2)若时，的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围.
【解析】(1)根据题意，函数为二次函数，其对称轴为.
若为偶函数，则，解得，则在上先减后增，
当时，函数取得最小值9，当时，函数取得最大值13，
即函数在上的值域为；
(2)由题意知时，恒成立，即.所以恒成立，
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以，解得，所以a的取值范围是.
31．已知函数 是奇函数.
(1)求实数m的值：
(2)求函数的单调递增区间.
【解析】(1)∵
又为奇函数，∴，即∴.
(2)当时，此时的图像开口向下，对称轴为直线,
∴在上单调递增，在上单调递减.当时，,此时的图像开口向上，对称轴为直线,在上单调递增，在上单调递减.
∴.函数的单调递增区间为
32．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
【解析】（1）因为是奇函数，所以，
因为，所以是奇函数，因此；
（2）在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减.
考点六 应用函数的奇偶性解决函数图象问题
33．已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【解析】（1）的图象关于原点对称，是奇函数，．
又的定义域为，，解得．设，则，
当时，， ，
所以；
（2）由（1）可得的图象如下所示：
由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
34．已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由图知，的定义域为，令时，或，
由为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，关于原点对称，
对A，B：当时，，，所以，故A，B错误；
对C：由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；
对D：由图知，当时，，，，
当时，，，，
结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确；故选：D.
35．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；
(2)求函数，的解析式；
(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解析】（1）剩余的图象如图所示，
有图可知，函数的单调增区间为；
（2）因为当时，，所以当时，则，有，
由为奇函数，得，即当时，，
又，所以函数的解析式为；
（3）由(2)得，，作出函数与图象，如图，
由图可知，当时，函数与图象有3个交点，即方程有3个不等的实根.
所以m的取值范围为.
36．定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示.
（1）补全的图像；
（2）解不等式.
【解析】（1）描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图像如图所示.
（2）结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2).
37．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解析】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，
有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，由图象可知：，即实数的取值范围为.
考点七 利用函数的奇偶性求最值
38．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
【解析】，
令，则，
∴函数在上为奇函数，则，即，∴，
∴．故答案为：
39．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【解析】由题意知，（），设，则，
因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，所以.故答案为：1
40．若关于x的函数在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（ ）
A．B．505C．1010D．2020
【解析】函数，
令，则，所以为奇函数，
因为关于的函数在，上的最大值为，最小值为，且，则的最大值为，最小值为，所以，则．
故选：B
考点八 函数的单调性和奇偶性的综合应用
41．【多选】已知奇函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，且f(5)=-5，则函数f(x)在区间[-5，-2]上（ ）
A．是增函数B．是减函数C．最小值为5D．最大值为5
【解析】因是奇函数，则函数的图象关于原点对称，又函数在上是减函数，于是得在上为减函数，是在上的最大值，所以函数f(x)在区间上是减函数，且最大值为.故选：BD
42．已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，函数为偶函数，故又在上单调递增，且，
故，即故选：D
43．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．或
【解析】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，
因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，
故选：B
44．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．[－2，2]B．[－1，2]C．[0，4]D．[1，3]
【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，
又在单调递减，∴得，即﹒故选：D．
45．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，所以函数在R上单调递增，又，所以，又不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：
46．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数满足对任意的，有，即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；故选：C
47．【多选】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为B．在上单调递减
C．的解集为D．存在实数满足
【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，所以，函数图象如下所示：
可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；故选：ACD．
48．【多选】已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（ ）
A．B．当时，单调递减
C．当时，D．，
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以，故A正确．因为当时，单调递减，所以当时，单调递减，所以，故B正确，C错误；当时，，所以，，D正确．故选：ABD
49．【多选】已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．，，使得
【解析】由，得：函数是R上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.
故选：ACD.