高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式精品教学设计

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教学目标
掌握平面上两点间的距离公式
会运用坐标法证明简单的平面几何问题
能解决简单的“距离型”最值问题
教学重难点
重点：掌握平面上两点间的距离公式．
难点：会运用坐标法证明简单的平面几何问题；能解决简单的“距离型”最值问题.
教学过程
引入新知
学校的年度文化节即将来临，学生会策划了一场特别的“校园寻宝”游戏。游戏中，参与者需要根据一系列提示找到隐藏在校园各处的宝藏。而每个提示都是一个谜题，解开谜题后会得到两个地点的坐标（如智慧楼标记为A(5,3)，创新楼标记为B(10,8)），以及一个挑战——计算这两个地点之间的直线距离，作为通往下一个宝藏的线索。
我们知道了校园内两个地点的坐标，我们该如何计算距离呢？
这就是今天我们要学习的内容 —— 两点间的距离公式.
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.
所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.
新课探究
探究：如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离?
从平面向量的知识入手，考虑求法：
如图，由点，，得．
于是，.
问题1：若两个点中，其中一个为原点，另一个为，则
应用自己推导出来的两点间的距离公式， 代入计算，得到两点间的距离的特殊情况：
平面坐标系上任意一点到原点的距离公式：.
问题2：除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？
回顾初中勾股定理的知识，进行做图求解：
如图，在中，易知，
所以|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
问题3：比较两种推导方法，分享你的体会
问题4：此公式与两点的先后顺序有关吗？
问题5：“当直线P1P2平行于x轴时”与“当直线P1P2平行于y轴时”，两点间距离公式可以化简为怎样的形式？
分“当时”和“当时”两种情况分别应用两点间距离公式并化简.得出结论.
问题6：有些代数式子表示的几何意义就是两点间的具体，那么你能识别吗？
比如式子的几何意义是什么？
应用新知
例3已知点，，在轴上求一点，使，并求的值．
解：设所求点为，则
，
．
由，得
解得．
所以，所求点为，且
．
跟踪练习：已知点，，在轴上求一点，使，并求的值．
解：设所求点为，则：
，
，
由，得，解得，
当时，所求点为，且；
当时，所求点为，且.
归纳总结：两点间的距离公式求两点间距离的方法：
第1步：确定两点的坐标，若某点坐标未知，就根据题意设点的坐标
第2步：代入两点间距离公式：
两种特殊情况：若坐标的纵坐标相等，则
若坐标的横坐标相等，则
第3步：计算化简即可求得距离.
例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
证明：如图2.3-4，四边形是平行四边形．以顶点为原点，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
问题7：如图，若设点的坐标为，点的坐标为，如何利用平行四边形的性质得到点的坐标？
如何由平行四边形的性质，得到点的坐标为?
在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为，由平行四边形的性质，得点的坐标为．
由两点间的距离公式，得，，，．
所以，．
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
归纳总结：“坐标法”解决平面几何问题的四个基本步骤：
第一步：一建：建立适当的平面直角坐标系；
第二步：二表：用坐标表示点、距离等相关量；
第三步：三算：进行相关代数运算；
第四步：四翻译：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
跟踪练习：换一个建平面直角坐标系的方法，再证明一次例题4
证明：以对角线的交点为原点，建立如图所示坐标系，在中，设由平行四边形的性质，得.
由两点间的距离公式，可得
所以
所以
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
问题8：体会例题4中两种不同建系方法中证明过程，说说适当建立坐标系，对证明的重要性?
问题9：如何建立适当的平面直角坐标系？
总结建系的三大原则：
原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上；
原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴
原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴
课后练习：如右图所示，建立坐标系，该建系方法是否遵循了以上三个建系原则？
思考：比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会?
能力提升
题型一：两点距离公式与其他知识交汇
例题1：（1）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（ ）
A．B．C．3D．
预设：由得，即，
由得，即，
则|AB|. 故选：D
（2）若动直线定点A和动直线定点B，
求.
由可得：，由可得，
所以定点，
直线可化为，由可得，
所以定点，
3、若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
由题意得＝2，即b－a＝2. 所以|AB|＝.
故选：D
方法总结：先利用已知条件求出点的坐标，或者整体的值，再代入两点间的距离公式求距离.
题型二：“距离型”的最值问题
例题2：（1）已知，求的最小值.
，
当时，
方法总结：先用两点的距离公式求距离，表示成只含一个未知数的式子，再利用函数的观点求最值.
（2）函数的最小值为____________．
，
函数y表示点到点和的距离之和.
. 故答案为：
方法总结：双根号和的最值：理解式子的几何意义，转化为两个点的“距离和”问题，动点P到两定点A、B的距离和大于等于定点的距离：
（3）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小.
如图，设C关于l的对称点为C′(a，b)，则eq \f(b－0,a－2)＝－eq \f(1,3)，
且3·eq \f(a＋2,2)－eq \f(b＋0,2)－1＝0，解得C′(－1，1)．又A（4,1），
当P在直线上运动式，|AP|＋|CP|≥.
方法总结：同侧距离和最小值：先求两定点A、B中A点关于直线对称点，则：
（4）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大.
如图，设B关于l的对称点为B′(m，n)，则eq \f(n－4,m－0)＝－eq \f(1,3)
且3·eq \f(m＋0,2)－eq \f(n＋4,2)－1＝0，解得B′(3，3)．又A(4，1)
此时|AQ|－|BQ|=|AQ|－|B′Q|≤|AB′|
又|AB′|=，故所求最大值为
方法总结：异侧距离差最小值：先求两定点A、B中A点关于直线对称点，则：
课堂小结
随堂限时小练
已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3)
C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10)
解：因为|AB|＝eq \r(（－1－2）2＋（0－3）2)＝3eq \r(2)，|BC|＝3，
|AC|＝eq \r(（2－2）2＋（0－3）2)＝3，所以△ABC的周长为6＋3eq \r(2).
故选：C.
的顶点分别是A(7，8)，B(10，4)，C(2，-4)，则的BC边上的中线AD的长为
A．9B．8C．D．6
解：设点的坐标为，则，，
即点的坐标为.∴.
故选C.
已知与两点间的距离是，则的值为（ ）
A．8B．9C．D．
解：由两点间的距离公式得：，解得.
故选：D
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
解：∵，,
,
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.
∴△ABC是等腰直角三角形.
已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（ ）
A．B．C．D．
解：设A关于直线的对称点的坐标为，
则，
∴最小．
故选：B
课后作业布置
作业1：完成教材：第74页 练习1,2,3
作业2：配套辅导资料对应的《两点间的距离公式》
课后作业答案
1．求下列两点间的距离：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
解析：（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．已知与两点间的距离是17，求的值．
解析：，解得．
3．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
已知：在中，，，点为斜边的中点．求证：．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以，，因为为的中点，所以，由两点间的距离公式，得，，，
所以，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．