高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案
展开学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
导语
在平面几何中,我们对直线做了定性研究,引入平面直角坐标系后,我们用二元一次方程表示直线,直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式,这样我们可以通过方程把握直线上的点,进而用代数方法对直线进行定量研究,例如求两条直线的交点,坐标平面内与点、直线相关的距离问题等.
一、求相交直线的交点坐标
问题1 已知两条直线l1:x+y-5=0,l2:x-y-3=0,画出两条直线的图象,分析交点坐标M与直线l1,l2的方程有什么关系?
提示 直线l1,l2的图象如图所示.点M既在直线l1上,也在直线l2上.满足直线l1的方程x+y-5=0,也满足直线l2的方程x-y-3=0.
即交点坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y-5=0,,x-y-3=0))的解.
知识梳理
已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))的解.
例1 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
解 方法一 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+4y-2=0,,2x+y+2=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2,,y=2,))
即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
∵直线过坐标原点,
∴其斜率k=eq \f(2,-2)=-1.
故直线方程为y=-x,即x+y=0.
方法二 ∵l2不过原点,
∴可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),
即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.
将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,
∴直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.
反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题,可有以下两种解法:
(1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再利用其他条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程:若两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点,则过l1与l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数,不包括直线l2),设出方程后再利用其他条件求解.
跟踪训练1 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
解 方法一 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-2y+4=0,,x+y-2=0,))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,,y=2,))即P(0,2).
∵l⊥l3,l3的斜率为eq \f(3,4),
∴kl=-eq \f(4,3),
∴直线l的方程为y-2=-eq \f(4,3)x,
即4x+3y-6=0.
方法二 ∵直线l过直线l1和l2的交点,
∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.
∵l与l3垂直,
∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,
∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.
二、判断两直线位置关系的方法
知识梳理
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(Aeq \\al(2,1)+Beq \\al(2,1)≠0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(Aeq \\al(2,2)+Beq \\al(2,2)≠0):
注意点:
(1)判断两直线位置关系的方法,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0,即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.
例2 (教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出交点坐标.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
解 (1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-y-7=0,,3x+2y-7=0))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=-1.))
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).
(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-6y+4=0,①,4x-12y+8=0,②))
①×2得4x-12y+8=0.
①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
(3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x+2y+4=0,,y=-2x+3))无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
反思感悟 判断两直线位置关系的方法,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是______.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),2))
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x+4y=2a+1,,2x+3y=a,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(2a+3,7),,y=\f(a-2,7),))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a+3,7)>0,,\f(a-2,7)<0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>-\f(3,2),,a<2.))
所以-eq \f(3,2)三、直线系过定点问题
问题2 观察下面的图象,发现直线都经过点M(4,1),怎么表示出经过M点的直线方程?
提示 当斜率存在时,y-1=k(x-4)(k∈R);当斜率不存在时,x=4.
知识梳理
1.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C).
2.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+λ=0.
3.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
例3 无论m为何值,直线l:(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P,求点P的坐标.
解 ∵(m+1)x-y-7m-4=0,
∴m(x-7)+(x-y-4)=0,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-7=0,,x-y-4=0,))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=7,,y=3.))
∴点P的坐标为(7,3).
反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.
(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0).
跟踪训练3 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1,求证:无论a为何值,直线总经过第一象限.
证明 将直线方程整理为a(3x-y)+(-x+2y-1)=0.
因为直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5),\f(3,5))),
即直线系恒过第一象限内的定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5),\f(3,5))),
所以无论a为何值,直线总经过第一象限.
1.知识清单:
(1)两条直线的交点.
(2)直线系过定点问题.
2.方法归纳:消元法、直线系法.
3.常见误区:对两直线相交条件认识模糊.
1.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为( )
A.(3,2) B.(2,3)
C.(-2,-3) D.(-3,-2)
答案 B
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-y-1=0,,x+3y-11=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=3.))
2.不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点( )
A.(-3,-1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(-2,1)
答案 C
解析 直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+2y+1=0,,-x-3y=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-3,,y=1,))
∴直线l恒过定点(-3,1).故选C.
3.斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为______________.
答案 2x+y-4=0
解析 设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0,
即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0,
∴k=eq \f(3+λ,1-λ)=-2,解得λ=5.
∴所求直线方程为2x+y-4=0.
4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k=________.
答案 -eq \f(1,2)
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+3y+8=0,,x-y-1=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=-2,))
又该点(-1,-2)也在直线x+ky=0上,
∴-1-2k=0,∴k=-eq \f(1,2).
课时对点练
1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )
A.(-4,-3) B.(4,3)
C.(-4,3) D.(3,4)
答案 C
解析 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+2y+6=0,,2x+5y-7=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-4,,y=3.))
2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为( )
A.12 B.10 C.-8 D.-6
答案 B
解析 ∵直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1).
∴将点(2,-1)代入3x+my-1=0得3×2+m×(-1)-1=0,即m=5,
将点(2,-1)代入4x+3y-n=0得4×2+3×(-1)-n=0,即n=5,
∴m+n=10.
3.经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且经过原点的直线的方程是( )
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.3x+19y=0 D.19x-3y=0
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-3y+4=0,,2x+y+5=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(19,7),,y=\f(3,7).))
故过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(19,7),\f(3,7))) 和原点的直线方程为y=-eq \f(3,19)x,
即3x+19y=0.
4.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是( )
A.-24 B.6 C.±6 D.24
答案 C
解析 因为两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,所以设交点为(0,b),
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3b-k=0,,-kb+12=0,))消去b,可得k=±6.
5.已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6),\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(1,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6),-\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-\f(1,6)))
答案 D
解析 由a+2b=1,得a=1-2b,
则直线ax+3y+b=0可化为(1-2b)x+3y+b=0,
整理得x+3y-b(2x-1)=0,
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+3y=0,,2x-1=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(1,2),,y=-\f(1,6),))
故直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-\f(1,6))).
6.若直线l:y=kx-eq \r(3)与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°}
C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
答案 C
解析 由题可知k≠-1,
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx-\r(3),,x+y-3=0,))解得x=eq \f(3+\r(3),1+k),y=eq \f(3k-\r(3),1+k),
∴两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3+\r(3),1+k),\f(3k-\r(3),1+k))).
∵两直线的交点在第一象限,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3+\r(3),1+k)>0,,\f(3k-\r(3),1+k)>0,))
解得k>eq \f(\r(3),3).
又直线l的倾斜角为θ,则tan θ>eq \f(\r(3),3),
∴30°<θ<90°.
7.过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为________________.
答案 3x+y=0
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-y-5=0,,x+y+2=0,))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=-3,))
则所求直线的方程为y+3=-3(x-1),
即3x+y=0.
8.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则m=______.
答案 -2
解析 由两直线垂直得2a-10=0,解得a=5.
又点(1,m)在直线上,
所以a+2m-1=0,
所以m=-2.
9.求经过直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且垂直于直线2x-y+7=0的直线方程.
解 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+17y+9=0,,7x-8y-1=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(11,27),,y=-\f(13,27),))
所以交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(11,27),-\f(13,27))).
又因为直线斜率为k=-eq \f(1,2),
所以所求直线方程为y+eq \f(13,27)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(11,27))),
即27x+54y+37=0.
10.若两条直线l1:y=kx+2k+1和l2:x+2y-4=0的交点在第四象限,求k的取值范围.
解 联立两直线的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+2k+1,,x+2y-4=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(2-4k,2k+1),,y=\f(6k+1,2k+1),))
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2-4k,2k+1)>0,,\f(6k+1,2k+1)<0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)
11.已知直线ax+y+a+2=0恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是________.
答案 y=2x
解析 由直线ax+y+a+2=0,
得a(x+1)+(y+2)=0,
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1=0,,y+2=0,))解得x=-1,y=-2,
∴直线ax+y+a+2=0恒经过定点(-1,-2),
∴过这一定点和原点的直线方程是eq \f(y-0,-2-0)=eq \f(x-0,-1-0),即y=2x.
12.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.
答案 x+y+1=0或3x+4y=0
解析 设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,
即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.
令x=0,得y=eq \f(7λ-6,2+5λ),
令y=0,得x=eq \f(7λ-6,3+2λ).
由eq \f(7λ-6,2+5λ)=eq \f(7λ-6,3+2λ),
得λ=eq \f(1,3)或λ=eq \f(6,7).
所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.
13.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________.
答案 2
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y-2=0,,x-2y+4=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,,y=2,))
代入直线方程y=3x+b,得b=2.
14.已知A(-2,4),B(4,2),直线l:ax-y-2=0与线段AB恒相交,则a的取值范围为______________.
答案 (-∞,-3]∪[1,+∞)
解析 如图所示,
直线l:ax-y-2=0经过定点D(0,-2),a表示直线l的斜率,
设线段AB与y轴交于点C,
由图形知,当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段CB上时,
a大于或等于DB的斜率,即a≥eq \f(2+2,4-0)=1,即a≥1.
当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段AC上时,a小于或等于DA的斜率,
即a≤eq \f(4+2,-2-0)=-3,即a≤-3.
综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
15.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在直线方程为( )
A.y=2x+4 B.y=eq \f(1,2)x-3
C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
答案 C
解析 设B关于直线y=x+1的对称点B′(x,y),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y-2,x+1)=-1,,\f(y+2,2)=\f(x-1,2)+1,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y-1=0,,x-y-1=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=0,))即B′(1,0).
又B′在直线AC上,
则直线AC的方程为eq \f(y-1,0-1)=eq \f(x-3,1-3),即x-2y-1=0.
16.如图,已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程.
解 设B(x0,y0),
则AB的中点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0-8,2),\f(y0+2,2))),
由条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0-5y0+8=0,,\f(x0-8,2)+\f(2y0+2,2)-5=0.))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0-5y0+8=0,,x0+2y0-14=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0=6,,y0=4,))
即B(6,4).
同理可求得C点的坐标为(5,0).
故所求直线BC的方程为eq \f(y-0,4-0)=eq \f(x-5,6-5),
即4x-y-20=0.
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
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