人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案，共10页。学案主要包含了点到直线距离公式的推导，点到直线距离公式的简单应用，点到直线距离公式的综合应用等内容，欢迎下载使用。

导语
距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示．在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？
一、点到直线距离公式的推导
问题1 如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示 根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为eq \f(B,A)，
∴l′的方程为y－y0＝eq \f(B,A)(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，
∴|PQ|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
问题2 上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？
提示 推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂．
问题3 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？
提示 eq \(PQ,\s\up6(→))可以看作eq \(PM,\s\up6(→))在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－eq \f(A,B)，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝eq \f(1,\r(A2＋B2))(A，B)．
(2) 在直线l上任取点M(x，y)，可得向量eq \(PM,\s\up6(→))＝(x－x0，y－y0)．
(3) |PQ|＝|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝|eq \(PM,\s\up6(→))·n|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
知识梳理
距离公式：d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
二、点到直线距离公式的简单应用
例1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于________．
答案 (1)2eq \r(5) (2)－6或eq \f(1,2)
解析 (1)由点到直线的距离公式得
eq \f(|－1×2＋2×1－10|,\r(22＋12))＝2eq \r(5).
(2)依题意得eq \f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq \f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，
∴|3m＋5|＝|m－7|，
∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，
∴m＝－6或m＝eq \f(1,2).
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可．
跟踪训练1 (多选)若点P(3，a)到直线x＋eq \r(3)y－4＝0的距离为1，则a的值为( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)
答案 AD
解析 由题意得eq \f(|3＋\r(3)a－4|,\r(1＋3))＝eq \f(|\r(3)a－1|,2)＝1，
解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \f(\r(3),3).
三、点到直线距离公式的综合应用
例2 已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
解 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|－2k－1|,\r(1＋k2))＝2，
解得k＝eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
延伸探究 求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解 设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，
最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
反思感悟 解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练2 已知直线l过点M(－1,2)，且点A(2,3)，B(－4,5)到l的距离相等，求直线l的方程．
解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，
此时点A(2,3)与点B(－4,5)到直线l的距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，
得eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
解得k＝－eq \f(1,3)，
此时l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二 由题意得l∥AB或l过线段AB的中点．
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，
则kl＝kAB＝eq \f(5－3,－4－2)＝－eq \f(1,3)，
此时直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
1．知识清单：
(1) 点到直线的距离公式的推导过程；
(2) 点到直线的距离公式d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；
(3) 公式的应用．
2．方法归纳：公式法、数形结合．
3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
答案 D
2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于( )
A．0 B.eq \f(3,4) C．3 D．2
答案 AB
解析 点M到直线l的距离d＝eq \f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝3，
所以m＝0或eq \f(3,4).
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A.eq \r(10) B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \r(6) D．3eq \r(5)
答案 B
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为eq \f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq \f(3\r(5),5).
4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为__________．
答案 x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
由d＝eq \f(|0－0＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝2，
得k＝－eq \f(5,12)，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
课时对点练
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.eq \f(5,3) C．1 D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 点P(1，－1)到直线l的距离
d＝eq \f(|3×－1－2|,\r(02＋32))＝eq \f(5,3).
2．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \r(5) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|2×1－2＋1|,\r(22＋－12))＝eq \f(\r(5),5).
3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1 D．2－eq \r(2)
答案 B
解析 由点到直线的距离公式，得1＝eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，
即|a＋1|＝eq \r(2).因为a>0，所以a＝eq \r(2)－1，故选B.
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A.eq \r(7) B.eq \r(6) C．2eq \r(2) D.eq \r(5)
答案 C
解析 |OP|最小即OP⊥l，
所以|OP|min＝eq \f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq \r(2).
5．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,9)
答案 AB
解析 由点到直线的距离公式可得
eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
解得a＝－eq \f(7,9)或－eq \f(1,3).
6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为( )
A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0
C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0
答案 AB
解析 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则eq \f(|4×－1＋3×－1＋C|,\r(42＋32))＝2，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________．
答案 eq \r(3)x－y＋10＝0或eq \r(3)x－y－10＝0
解析 因为直线斜率为tan 60°＝eq \r(3)，
可设直线方程为y＝eq \r(3)x＋b，
化为一般式得eq \r(3)x－y＋b＝0.
由直线与原点的距离为5，
得eq \f(|0－0＋b|,\r(\r(3)2＋－12))＝5⇒|b|＝10.
所以b＝±10.
所以直线方程为eq \r(3)x－y＋10＝0或eq \r(3)x－y－10＝0.
8．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．
答案 2
解析 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因为原点到直线的距离d＝eq \f(|－10|,\r(1＋3λ2＋3－λ2))＝1，
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
9．已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
解 由直线方程的两点式得直线BC的方程为
eq \f(y,2－0)＝eq \f(x＋3,1＋3)，
即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝eq \r(－3－12＋0－22)＝2eq \r(5)，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
则d＝eq \f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋－22))＝eq \f(4\r(5),5).
所以S＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝4，
即△ABC的面积为4.
10．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为eq \r(2)，求该直线的方程．
解 当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，
即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0，由已知得eq \f(|3k－1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，
整理得7k2－6k－1＝0，
解得k＝－eq \f(1,7)或k＝1，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
由题意得eq \f(|4－a|,\r(2))＝eq \r(2)，整理得|a－4|＝2，
解得a＝6或a＝2，
所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1,2) B．(3，－4)
C．(2，－1) D．(4，－3)
答案 AC
解析 设点P的坐标为(a,5－3a)，
由题意得eq \f(|a－5－3a－1|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
12．当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为( )
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
答案 C
解析 直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
13．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )
A．(1，－6) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(9,2)))
C．(5，－3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，－\f(3,2)))
答案 C
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线MP的方程为y－1＝－eq \f(4,3)(x－2)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)x－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝－3.))
故所求点的坐标为(5，－3)．
14．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
答案 (－12,0)或(8,0)
解析 设P(a,0)，则有eq \f(|3a－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，
解得a＝－12或8，
所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
15．已知x＋y－3＝0，则eq \r(x－22＋y＋12)的最小值为________．
答案 eq \r(2)
解析 设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且eq \r(x－22＋y＋12)＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
16．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为eq \r(5)，判断m与n的位置关系．
解 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3y＋6＝0，,x－2y＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－21，,y＝－9，))
即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为eq \f(x,b)＋eq \f(y,－b)＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，
则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－a＋6)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋3))2))＝eq \r(5)，
解得a＝－eq \f(1,4)或a＝－eq \f(7,3)，
当a＝－eq \f(1,4)时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝－eq \f(7,3)时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.