高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式优秀教学设计及反思

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结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;
理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;
了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.
学习重难点
重点：理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率；
难点：理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率.
学习过程
创设情境，引入新知
《狼来了》这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？这个故事，我们可以通过特殊概率公式来解读．
不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5, 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼成功的抓走了小羊，而且无人来救，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
思考：上述问题可以用哪种概率公式来解释？
教师：我们可以借助全概率公式来解读．这也是本节课学习的内容
探究新知
问题提出：在上节课中，计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.
探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
结论：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.
思考：思考一下，如何证明以上结论
预设：证明：
用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如下图所示，
事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得
．
总结：上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率．
定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
．
我们称上面的公式为全概率公式（ttal prbability frmula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
辨析：师生共同讨论，辨析全概率公式
全概率公式使用条件:
是一组两两互斥的事件；
，，且i=1nPAi=1
P(B)=P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
全概率公式特殊情况:
P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
对全概率公式的理解
事件B的发生可能有多种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).
每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.
应用新知
例4 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
预设：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥．
根据题意得，，
由全概率公式，得
．
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7．
总结：全概率公式求概率的方法步骤：
1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因；
2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))；
3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ).
跟踪练习：假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
预设：用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，
因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
所以买到的是优质品的概率为88.5%.
例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率．
预设：设“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得，，，
，．
（1）由全概率公式，得
．
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率．
．
要求：用以上相同的方法，求和
预设：类似地，可得，．
跟踪练习：1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求从2号箱取出的球是红球的概率．
预设：设A＝“从2号箱取出的球是红球”；B＝“从1号箱取出的球是红球”．
则P(B)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，P(B)＝1－P(B)＝eq \f(1,3)，
P(A|B)＝eq \f(3＋1,5＋3＋1)＝eq \f(4,9)，P(A|B)＝eq \f(3,5＋3＋1)＝eq \f(1,3).
由全概率公式可得
P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝eq \f(4,9)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(11,27).
设计意图：会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力.
思考：例5中，的实际意义是什么?
预设：（1）是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率．
当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率．
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额．
定义：将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝叶斯公式．
*贝叶斯公式(Bayes frmula)：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有
．
贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯 (T. Bayes, 1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系．
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
*（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
预设：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得
，，，，．
（1），
．
（2）．
能力提升
类型一：全概率公式求概率
例1 （1）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
预设：设事件表示所取到的产品是由第家元件制造厂提供的()，事件表示取到的是一件次品．其中两两互斥，发生总是伴随着之一发生，
即，且两两互斥，
由题意可知，，
所以运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为．
题型二：贝叶斯公式求概率
例题2 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
预设：（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
由全概率公式得P(A)＝ (Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
（2）由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
P(B3|A)＝＝＝.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．
总结：应用贝叶斯公式求概率的步骤
(1)找出样本空间中所有的事件，并用字母表示各个事件；
(2)求出各组相关事件的概率或条件概率；
(3)代入全概率公式求得结果．
课堂小结
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.
随堂限时小练
1．盒中有3个红球，4个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，，，
事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，
所以，
故选：B
2．某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（ ）
A．0.08B．0.15C．0.1D．0.9
【答案】C
【分析】根据全概率公式，即可求解.
【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件，
则，，且，，
则
.
故选：C
3．已知，则P(B)的值为（ ）
A．0.08B．0.8
C．0.6D．0.5
【答案】C
【分析】由求解.
【详解】解：因为，
所以，
，
故选：C
4．盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解.
【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，
则，
所以.
故选：C.
5．某乡镇有甲，乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4；若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6．则老王第二次去甲超市购物的概率为 ．
【答案】0.5/
【分析】由全概率公式求解即可．
【详解】设，，，
得，，，
由全概率公式得，
．
故答案为：
课后作业布置
作业1：完成教材：第52页 练习1，2；习题7.1第5,7,8题.
作业2：配套辅导资料对应的《全概率公式》.
课后作业答案
练习（第52页）
1．现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率．
1．【解析】设事件“对所选的题有思路”，“对所选的题完全没有思路”，事件“做对所选题目”，则，且与互斥，
由题意得，，，．
由全概率公式，得．
即他做对该题的概率为0.7375．
2．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件．
（1）求这件产品是合格品的概率；
*（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率．
2．【解析】设事件“任取1件产品是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则，且与互斥，
由题意得，，，．
（1）由全概率公式，得．
（2）由贝叶斯公式，得．
习题7.1（第52页）
1．为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示．单位：人
从这2000人中随机选择1人．
（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；
（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率．
解：（1）由题意，男生共有1200人，其中患色盲的有60人，选到的男生患色盲的概率．
（2）由题意，患色盲的学生共有62人，其中男生有60人，
选到的患色盲的学生是男生的概率．
2．从人群中随机选出1人，设B＝“选出的人患有心脏病”，C＝“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断P(B)和P(C)的大小，并说明理由．
解：由题意，，．
3．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5．已知
目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率．
解：设事件A为“目标至少被命中1次”，事件B为“甲命中目标”，
则，
，则．
4．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．求摸到红球的概率．
解：设事件A为“掷一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”，则事件为“掷一枚质地均匀的骰子，点数为3，4，5，6”；设事件B为“摸到红球”．
．
5．在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人．
（1）求这个人患流感的概率；
*（2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率．
解：（1）设事件A，B，C分别表示：任意选取一个人，分别来自A，B，C地区．事件D表示：这个人患流感．则
．
（2）．
6．已知，， ，证明： ．
证明：，，，
，．
7．一批产品共有100件，其中5件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．求这批产品被拒绝的概率．
解：设事件A为“抽检的第1件产品合格”，事件B为“抽检的第2件产品合格”．
则这批产品被拒绝的概率为．
8．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1：2：1．如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本进行杂交试验，那么子三代中基因型为dd的概率是多大？
解：设事件为“所选子二代基因型为Dd”，事件为“所选子二代基因型为dd”，事件为“子三代基因型为dd”，
则
．
9．证明条件概率的性质（1）和（2）．
证明：性质（1），．
性质（2），和是两个互斥事件，
与AC是两个互斥事件，．
10．证明：当时， ．据此你能发现计算的公式吗？
证明：，
．
类似地，．
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
男
女
合计
色盲
60
2
62
非色盲
1140
798
1938
合计
1200
800
2000