人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
教学设计
一、教学目标
1. 掌握点到直线的距离公式的推导方法，能用公式来求点到直线的距离；
2. 学习并领会探究点到直线间距离公式的思维过程，掌握用数形结合的数学思想来研究数学问题的方法.
二、教学重难点
1. 教学重点
点到直线的距离公式推导及公式的应用.
2. 教学难点
点到直线的距离公式的推导.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：两点间的距离公式.
，两点间的距离公式.
思考：如图，已知点，直线，如何求点P到直线l的距离？

（二）探索新知
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出，就可以得到点P到直线l的距离.
设，.由，以及直线l的斜率为，可得l的垂线PQ的斜率为，因此，垂线PQ的方程为，即.
解方程组，得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为.
于是
.
因此，点到直线的距离.
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.

问题1：能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的模.
设是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，.

问题2：如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？
设，是直线上的任意两点，则是直线l的方向向量，把，两式相减，得.由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直.向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.我们取，从而


.
因为点在直线l上，所以.所以.代入上式，得.
因此.
例1 求点到直线的距离.
解：点到直线的距离.
例2 已知的三个顶点分别是，求的面积.
解：如图，设边AB上的高为h，
则
.
边AB上的高就是点到直线AB的距离.
边AB所在直线的方程为，即.
点到直线的距离.
因此，.

（三）课堂练习
1.点到直线的距离等于( )
A.7 B.5 C.3 D.2
答案：A
解析：由点到直线的距离公式可得，故选A.
2.已知点到直线的距离为1，则等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由点到直线的距离公式，得，即.，故选B.
3.已知直线与直线互相垂直，则点到直线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
答案：C
解析：由已知得，，，又，
，解得.
此时直线的方程为，
点到直线的距离，故选C.
4.直线在轴上的截距为1，又点到的距离相等，则的方程为_____________________.
答案：或
解析：显然轴时符合要求，此时的方程为.当直线的斜率存在时，可设的斜率为，则的方程为，即.点到的距离相等，
，
的方程为.
符合题意的的方程为或.
5.已知直线l经过直线与的交点.
（1）若点到直线l的距离为3，求直线l的方程；
（2）求点到直线l的距离的最大值.
答案：（1）由题意，可设直线l的方程为，
即，
由点A到直线l的距离为3，得，
解得或.
所以直线l的方程为或.
（2）由，得交点.
过点P作任意一条直线l，设d为点A到直线l的距离，
则结合图形可知（仅当时等号成立）.
所以.

（四）小结作业
小结：点到直线的距离公式.
作业：
四、板书设计
2.3.3 点到直线的距离公式
点到直线的距离公式：点到直线的距离.