高中数学直线与圆、圆与圆的位置优秀教学设计

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教学目标
掌握圆与圆的位置关系及判定方法，培养数学抽象的核心素养
能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养
能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养
教学重难点
重点：能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．
难点：能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养
学情分析与教材分析
学情分析：
本节课之前学生也已经学习了点与圆、直线与圆的位置关系的判断，掌握了根据图像特征得出判断点与圆、直线与圆位置关系的方法，因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，从这个角度说，新课的引入会比较容易和顺畅。
教材分析：
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆与圆的位置关系。
本节课是《人教A版必修二》的第四章第二节，这是一堂关于圆与圆位置关系判断的新授课。在本节课之前，学生已经学习了圆的方程、直线与圆位置关系的判断及简单应用。课本及教参的处理仍停留在学生初中已经学习了圆与圆位置关系的几何判断，所以并没有给出圆与圆位置关系的分类及运用圆心距与两圆半径和或差的大小来判断两圆位置关系，而事实上，现在的学生初中已经不再学习圆与圆的位置关系了，这就给本节课增大了些容量。随着直线方程、圆的方程的学习，本节课也相应地要将圆与圆的位置关系联系到圆的方程。用代数方法来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的常用方法，因此，增加了用代数方法来分析圆与圆的位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思想方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义。本节课的重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。根据学生的基础，学习的自觉性和主动性，自主学习和探究学习能力，从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍。
教学过程
创设情境，引入新知
教师：日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。


我们将月亮与太阳抽象为圆，
观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?
前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，
现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。
新课探究
思考：类比直线与圆的位置关系，请同学们思考：圆与圆有哪几种位置关系？
学生：学生回顾已学，得到两圆位置关系，相离，外切，相交，内切，内含.
预设：两个圆之间存在以下三种位置关系：
(1) 两圆相交，有两个公共点；
(2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
(3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
设计意图：通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系.
探究：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？
师生：共同分析：可以类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，探究圆与圆的位置关系
师生活动：
（1）学生回顾初中所学圆与圆的位置关系的判定方法，类比直线与圆的位置关系的判定方法，自主归纳圆与圆的位置关系的判定方法.
（2）教师巡视全班并展示部分学生的做法：
预设：圆 , 圆 , 两圆的圆心距 , 则有
探究：类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？
又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？
预设：代数法:圆 , 圆 , 两圆的方程联立得方程组,则有
设计意图：类比直线与圆的位置关系的研究圆与圆的位置关系.
应用新知
例5 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系．
学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.
师生：共同分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系．
预设：解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组
，得
③
由③，得
．
把上式代入①，并整理，得
④
方程④的根的判别式
，
所以，方程④有两个不相等的实数根，． 把，分别代入方程③，得到，．
因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交．
解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径．
把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径，圆与圆的连心线的长为．
圆与圆的两半径之和，两半径长之差．
因为，即，所以圆与圆相交（图2.5-6），它们有两个公共点，．
思考：画出圆与圆以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ QUOTE
学生：回顾解题过程，并总结答案
预设：当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。
师生总结：求两相交圆的公共弦所在直线方程方法：
将两圆的方程相减，消去x2与y2得二元一次方程即为所求.
思考：为什么不需要把圆与圆的两个公共点，的具体坐标求出来？
学生：思考、交流、讨论，体会设而不求的重要数学思想；
预设：本题只要判断圆与圆是否有公共点，并不需要求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根．
思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么? 你能据此确定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢? 当时，两圆是什么位置关系?
学生：与同桌讨论和思考，尝试着得出答案.
预设：当时，它说明两个圆只有一个公共点，两圆相切但无法确定是内切，还是外切；
当时，它说明两个圆没有公共点，两个圆相离，但无法确定是外离，还是内含.
追问：如何判断两圆是内切还是外切（是外离还是内含）？
学生：几何法
跟踪练习：（1）代数法判断圆与圆的位置关系，若有公共点，求出公共点的坐标．
师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；
预设：依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得，
把代入第一个方程得到，解得，，
从而，．
所以圆与相交于两点与．
（2）几何法判断圆与圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在直线的方程．
师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；
预设：圆，即，所以，
圆，即，所以，
则，
所以，即圆与圆相交.
两圆的方程相减得：，即
所以公共弦所在直线的方程为
例6 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系．
师生：共同分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．
师生： 给出题目后，教师通过以下问题引导学生思考：
（1）如何建立平面直角坐标系？有哪些几何对象需要用坐标表示？
（2）问题中的几何对象之间有哪些关系，如何用坐标进行表示？
（3）说说你对动点M的轨迹及轨迹方程的理解？
预设：如图 2. 5-7， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．由，得，．
设点的坐标为，由，得，
化简，得，即．
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图 2.5-7)．
因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，
又 QUOTE ?1−?2