高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理精品教学设计

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1.2 空间向量基本定理 导学案
一、学习目标
（1）了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；
（2）掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
（3）掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。
（4）能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题，并在此过程中，感悟联系的观点和类比的方法，体会转化与化归、数形结合等数学思想.
二、重点难点
重点：
（1）空间向量基本定理及证明
（2）应用空间向量基本定理解决立体几何问题.
难点：
（1）“基”的思想，空间向量基本定理唯一性的证明
（2）如何根据条件选择基底解决立体几何问题.
三、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示(平面向量基本定理)．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量，，来表示呢?
环节二：回顾旧知，学习新知
前面我们类比平面向量及其运算学习了空间向量及其运算，接下来我们一起研究空间向量基本定理.
问题1：我们知道，平面向量基本定理是向量共线定理的推广，可以想象，空间向量基本定理是平面向量基本定理的推广.你能回忆出平面向量基本定理吗?
追 问1：空间中的任意一个向量，能否用两个不共线的向量表示呢?
追问2：至少需要几个向量才能表示空间中的任意一个向量?这些向量需满足什么要求?为什么？
问 题 2 ：设是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示?
根据向量的自由性，如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而，而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得．我们称，，分别为向量在，，上的分向量．
追问：我们看到，对于空间任意向量在，，方向上的分解，同学们的分解方法不尽相同，但是对于都可以用形如的向量表示，那么这种表示形式是唯一的吗?
接下来，我们对有序实数组的唯一性进行严格的证明.学生通过回顾、思考、发言交流得出：
类似于平面向量基本定理中唯一性的证明，我们可以依据向量共面定理，用反证法证明这个唯一性：
假设除外，还存在有序实数组使得，
则，故
不妨设则可得，
由平面向量基本定理可知，，共面，这与已知矛盾.
所以有序实数组是唯一的.
追问2:在问题2中，如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，你能得出类似结论吗?
空间向量基本定理：
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．
问题3：请你结合以上内容的探究过程，给出空间向量基本定理的证明.
又由问题2的追问1,同理可证这样的有序实数组是唯一存在的.因此，如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量, 存在唯一有序实数组 使得，即空间向量基本定理得证.
由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectrs)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
追问1：你能说出有序实数组的几何意义吗?
追问2： 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表.

环节三：根据新知，简单应用
例1 如图1.2-2，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示．
分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，可以用基底表示出来．
解：
．
变式训练：
1．在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
【答案】(1)，；(2).
【详解】
解：（1）在平行六面体中，
，
由分别是的中点，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.
例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．
求证： ．
分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．
证明：设，，这三个向量不共面，
构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
，
所以
所以．
例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值．
分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，则构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．
（2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底．所以
，
．
所以．所以．
（2）解：因为，，
所以
所以与所成角的余弦值为．
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：空间向量基底的概念辨析
1．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】如图所示，令，，，
则，，，，
由于四点不共面，可知向量也不共面，
同理四点不共面，可知向量不共面，
又四点不共面，可知向量也不共面，
而四点共面，所以向量共面，
又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底.
故选：C.
小结：基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设，运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
变式训练：
已知{}是空间的一个基底，且=，=，=，试判断{}能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量；若不能，请说明理由.
【答案】能，＝17－5－30.
【详解】能作为空间的一组基底.
假设共面，由向量共面的充要条件知存在实数使成立
又因为{}是空间的一个基底，所以不共面.
因此，此方程组无解，即不存在实数使，
所以不共面.故{}能作为空间的一个基底.
设，则有
因为{}为空间的一个基底，所以，解得，
故
题型二：利用空间向量解决立体几何问题
2.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，．

(1)求的长；
(2)证明：平面；
(3)求直线与AC所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)．
【详解】（1）解：由空间向量的运算法则，可得，
所以
，
所以，即的长为.
（2）解：由向量的运算法则，可得，，
则
，
所以，所以.
因为底面是边长为的正方形，、
所以，
因为平面，
所以平面.
（3）解：因为，
所以，
，
且
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
小结：基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用求长度，用，用求夹角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
变式训练：
1．已知四面体，，．求证：．
1．证明：如图，，，
，
，．
2．如图，在平行六面体中，，，，
．求与所成角的余弦值．
2．解：设，，
．
又，
．
．
．所以与所成角的余弦值为0．
3．如图，已知正方体，和相交于点，连接，求证：．
证明：设，且，
，
，
，
，．
环节五：凝练升华，课堂小结
问题4：回顾本节课的教学内容，回答下列问题：
(1)我们是如何发现和提出本节课所研究的问题的?你能说出空间向量基本定理和平面向量基本定 理的联系和区别吗?
(2)探索、证明空间向量基本定理，我们经历了怎样的过程?用到了哪些数学思想和方法?
(3)请具体谈谈空间向量基本定理的“基本”主要体现在哪些方面?它的主要作用是什么?
(4)本课中利用空间向量基本定理解决了哪些立体几何问题?
(5)在用空间向量基本定理解决立体几何问题时一般采取怎样的步骤?
(6)你觉得利用空间向量基本定理及空间向量运算，除了可以解决今天所碰到的问题外，还可以解决立体几何中的哪些问题?
(1)通过“平面外的一个向量,无法用平面内的两个向量来表示”,从而引 发矛盾.平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系，空间向量基本定理是平面向量 基本定理的推广，两者除基向量个数、基向量的维数不同外，在概念、证明过程、几何意义、表述形式等方面 具有一致性.
(2)对于空间向量基本定理的证明，我们先从“作正投影”开始，先在特殊情景(空间直角坐标系)下给 予证明，然后再推广到“一般情形”(任意基底),最后再回归到单位正交基底，是一种“特殊→一般→特殊” 的思维过程.在这一过程中运用了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法.另外，在高中数学中，基本量方法是一种重要的方法，而空间向量基底的应用，为学生展示了一个具有“基本量法”的重要数学模型.
(3)空间向量基本定理，之所以称为“基本”,是基于该定理在向量理论中的重要作用：给定空间内三 个不共面的向量，通过线性运算，可以构造出该空间中的所有向量，从而空间的任意问题都可以转化为基 底中三个向量之间的问题，化“任意”为“确定”,化未知为已知.选定基底后，空间的任意向量与有序实数对一一对应，为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁，实现了数与形的统一.
(4)本节课利用空间向量基本定理判断空间两直线的平行、垂直位置关系，并拓展到判断线面垂直位置关系，利用空间向量基本定理计算两点间距离(向量模长),以及空间中两直线所成角的大小.
(5)用向量方法解决立体几何问题时，首先应根据条件恰当选择空间中三个不共面的向量作为基底， 再利用这个基底表示其他向量，然后利用空间向量运算法则进行运算，最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这与利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”是一脉相承的.
(6)利用空间向量基本定理及其运算，还可以解决直线与平面，平面与平面间的平行、垂直等位置关系的判断；还可以解决空间的距离问题，以及空间中直线、平面所成角等角度大小的计算.

环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第15页习题第4、5、6、7、8题
巩固作业答案：
4．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，是的中点，是的中点，用基底表示向量，．
4．解析：
．
．
5．如图，在长方体中，是与的交点．若，，求的长．
5．解析：设，，，
则
，的长为．
6．如图，平行六面体的底面是菱形，且，
，求证：平面．
6．证明：∵四边形为菱形，．又，设．
又．设，，，则，
又，
，
，．又，
，．又，平面．
拓广探索
7．如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值．
7．(1)证明：设，则
，
．
，
，．
(2)解析：由(1)知．．
又，，
．与所成角的余弦值为．
8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直．
8．如图，设，，，
则，，．
由，得
．
展开得，所以．又因为，，
所以．同理可证，．
分类 定理
向量共线定理
平面向量基本定理
空间向量基本定理
表述形式
基向量个数
1
2
3
基向量要求
，不共线
，，不共面
对于实数（对、组）