人教A版（2019）高中数学必修二 第六章平面向量及其应用之重难点04—奔驰定理专题讲义（原卷版+解析版）

这是一份人教A版（2019）高中数学必修二 第六章平面向量及其应用之重难点04—奔驰定理专题讲义（原卷版+解析版），文件包含重难点04奔驰定理精讲两大题型精讲原卷版docx、重难点04奔驰定理精讲两大题型精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
重难点04 奔驰定理 （精讲）目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc187332659" 1 奔驰定理---解决面积比例问题  PAGEREF _Toc187332659 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332660" 2 题型一：直接使用奔驰定理  PAGEREF _Toc187332660 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332661" 3 题型二：三角形面积比问题  PAGEREF _Toc187332661 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc187332662" 4 【同步练习】  PAGEREF _Toc187332662 \h 5奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故.题型一：直接使用奔驰定理例1．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）  A．若，则O为△ABC的重心B．若，则C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则例2．（多选题）（2024·山东·高一校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（    ）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则例3．（多选题）（2024·全国·高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）  A．B．有可能是的重心C．若为的外心，则D．若为的内心，则为直角三角形变式1．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（    ）．A．若，则O为的重心B．若，则C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则变式2．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（    ）    A．若，则B．若，则C．若为的内心，且，则D．若为的垂心，则题型二：三角形面积比问题例4．（2024·江西宜春·高一统考期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（    ）A． B． C． D．例5．（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ）A． B．3 C． D．例6．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ）A． B． C． D．变式3．（2024·安徽黄山·高一统考期末）已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ）A． B． C． D．变式4．（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学阶段练习）设为等边的重心，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（  ）A． B． C． D．变式5．（2024·四川德阳·高一统考期末）已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ）A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ）A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【同步练习】1．（2024·江苏·高三盐城中学校考阶段练习）记△ABC所在平面内一点为P，满足，其中，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．2．（2024·陕西·高三竞赛）如图，设为内一点，且.则A． B． C． D．3．（2024·广东·高一仲元中学校考期末）已知P为边BC上一点，，若，则A． B． C． D．4．（2024·陕西延安·高一校考阶段练习）已知是所在平面内一点，且满足，则与的面积之比为A． B． C． D．5．（2024·天津红桥·校联考二模）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为A． B． C．3 D． 6．（2024·安徽淮南·高三淮南第一中学校考阶段练习）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ）A． B． C．2 D．7．（2024·高一课时练习）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶58．（2024·山东·高三阶段练习）若点是所在平面内的任意一点,满足,则与的面积之比为A． B． C． D．9．（2024·河北衡水·高三周测）在所在平面上有三点，满足，，，则的面积与的面积之比为A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:510．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（    ）A． B． C． D．11．（多选题）（2024·河南南阳·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．，，，则C．若为的内心，，则D．若为的重心，则 12．（多选题）（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则13．（多选题）（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（    ）A．B．C．D．14．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为 .15．（2024·高一课时练习）如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于 . 16．（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积之比为 .17．（2024·四川凉山·统考三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若是的重心，则有；②若成立，则是的内心；③若，则；④若是的外心，，，则.则正确的命题有 .18．（2024·高一课时练习）若点是所在平面内一点，且满足则与的面积之比为 ；若为的中点，与交于点，设，则 .19．（2024·吉林·高三竞赛）已知是所在平面内的一点，满足. 则与的面积之比为 .20．（2024·湖北·高三竞赛）已知是所在平面上一点，满足.则与的面积之比为 .21．（2024·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知是△内的一点，且满足，记△、△、△的面积依次为、、，则 22．（2024·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）校考阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点在内部，满足，求的值；(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；(3)用“奔驰定理”证明推论②.