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【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试3（含解析）
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这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试3（含解析），共16页。
人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在菱形ABCD中，点E是线段CD上的一点，且EC→=2DE→，若|AB→|=35，|AE→|=217，则AE→.BE→=( )
A. 26 B. 24 C. 125 D. 817
2.（5分）在ΔABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )
A. b=10，A=45°，C=75° B. a=7，b=5，A=80°
C. a=60，b=48，C=60° D. a=14，b=16，A=45°
3.（5分）在ΔABC中，BC=23，AC=2，SΔABC=6，则∠C等于( )
A. π4 B. π3 C. π4或3π4 D. π3或2π3
4.（5分）如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北75°，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北30°方向，则A，B两亭子间的距离为( )
A. 503米 B. 1003米 C. 506米 D. 1006米
5.（5分）设a→=(1,2)，b→=(1,1)，c→=a→+kb→，若b→⊥c→，则实数k的值等于( )
A. -32 B. -53 C. 53 D. 32
6.（5分）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若2cos2A+B2-cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=1，则c的值为( )
A. 13 B. 7 C. 37 D. 6
7.（5分）在平面直角坐标系中，O(0,0)，P(4,3)，将向量OP→按逆时针旋转π3后，得向量OQ→，则点Q的横坐标是( )
A. 2+332 B. 2-332 C. 23+32 D. 23-32
8.（5分）为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19°7'方向上，塔顶丁处的仰角为30°，小刘从A处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79°7'方向上．塔顶T处的仰角为60°，则铁塔OT的高度为( )
A. 207米 B. 257米 C. 2021米 D. 2521米
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间向量a→(a→≠0→)，b→，c→，则下列结论正确的有( )
A. 若a→=b→，b→=c→，则a→=c→ B. a→⋅b→a→2=b→a→
C. a→.(b→.c→)=(a→.b→).c→ D. (a→⋅b→)2⩽a→2b→2
10.（5分）已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8)，如下四个结论正确的是( )
A. AB→⊥AC→
B. 四边形ABCD为平行四边形
C. AC→与BD→夹角的余弦值为729145
D. |AB→+AC→|=85
11.（5分）已知点A(4,6)，B(-3,32)，与向量AB→平行的向量的坐标可以是()
A. (143,3) B. (7,92)
C. (-143,-3) D. (7,9)
12.（5分）(多选)对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是
A. 若sin2A+sin2B
C. 若b=8，c=10，B=60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D. 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．
13.（5分）下列有关平面向量的命题中，不正确的是()
A. 若|a→|=|b→|，则a→=b→
B. 已知a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 若非零向量a→，b→，c→，满足a→·b→=a→·c→，则b→=c→
D. 若a→=b→，则|a→|=|b→|且a→//b→
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=2，cosB=23，则A=______.
15.（5分）已知ΔABC，a=5，b=15，B=60°，则c=______．
16.（5分）已知单位向量a→，b→满足(2a→+3b→)(a→-b→)=-12，则a→-b→与b→的夹角为______
17.（5分）已知ΔABC中，AC=23，D是BC边上的一点，且ΔABD为等边三角形，则ΔACD面积S的最大值为______．
18.（5分）若非零向量a→，b→满足a→⋅(a→+b→)=0，2|a→|=|b→|，则向量a→，b→夹角的大小为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）①3cosB=2-2sinB2cosB2，
②3bsinC=ccosB，
③(b+a)(b-a)=c2-3ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知ΔABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a=4，c=3b，_____，
(1)求B；
(2)求ΔABC的面积．
20.（12分）ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ΔBC的面积为S，若43S=b2+c2-a2
(1)求角A；
(2)若a=2，b=23，求角C．
21.（12分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F在直径AB上，且∠ABC=π6．
(1)若CE=13，求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．
22.（12分）如图，D是在ΔABC边AC上的一点，ΔBCD面积是ΔABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ.
(Ⅰ)若θ=π6，求sinAsinC的值；
(Ⅱ)若BC=4，AB=22，求边AC的长．
23.（12分）已知ΔABC中，B=3π4，AC=10，cosC=255．
(1)求边BC的长；
(2)若边AB的中点为D，求中线CD的长．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：连接AC，BD交于点O，以点O为坐标原点，AC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设OC=m(m>0)，OD=n(n>0)，
则A(-m,0)，C(m,0)，B(0,-n)，D(0,n)，
所以AB→=(m,-n)，AE→=AD→+DE→=AD→+13DC→=(m,n)+13(m,-n)=(43m,23n)，
所以m2+(-n)2=35(4m3)2+(2n3)2=217，解得m=6n=3，
所以AE→=(8,2)，BE→=AE→-AB→=(2,5)，
所以AE→⋅BE→=26．
故选：A．
以点O为坐标原点，AC为x轴，BD为y轴，建立直角坐标系，设OC=m(m>0)，OD=n(n>0)，用坐标表示出AB→，AE→，利用模长公式列关于m，n的方程组，解可得m，n的值，从而可求AE→，BE→，再利用数量积的坐标运算即可求解．
此题主要考查平面向量数量积的运算，建立适当的直角坐标系是解答该题的关键，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】
该题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时D有两解，符合题意．
解：∵a=14，b=16，A=45°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=16×2214=427>22，
∵a
故选D．
3.【答案】C;
【解析】解：∵SΔABC=12BC⋅AC⋅sinC=12⋅23⋅2⋅sinC=6，
∴sinC=22，
∵0<∠C<π，
∴∠C=π4或3π4，
故选：C．
利用面积公式求得sinC，进人求得C．
这道题主要考查了正弦定理的应用．注重了对基础知识的考查．
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查解三角形的应用，属于中档题.
连接AB，在ΔADC中，由条件可得∠ADC=105°，∠ACD=30°，则∠DAC=45°，利用正弦定理求得AD=502，在ΔADB中，由余弦定理即可求得结果.
解：连接AB，在ΔADC中，由条件可得∠ADC=105°，∠ACD=30°，则∠DAC=45°，
∵CD=100，
∴在ΔADC中，由正弦定理得100sin45°=ADsin30°，
∴AD=502，
在ΔADB中，由条件得BD=1002，
且∠ADB=∠ADC-∠BDC=60∘，
∴在ΔADB中，由余弦定理得AB2=(502)2+(1002)2-2×502×1002×12
=502×6，
∴AB=506，
故选C.
5.【答案】A;
【解析】
该题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
由题意可得c→的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．
解：∵a→=(1,2)，b→=(1,1)，
∴c→=a→+kb→=(1+k,2+k)，
∵b→⊥c→，
∴b→⋅c→=0，
∴1+k+2+k=0，
解得k=-32．
故选A．
6.【答案】A;
【解析】解：根据题意，ΔABC中，2cos2A+B2-cos2C=1，变形可得2cos2A+B2-1=cos2C，
则有cos2C+cosC=0，即2cos2C+cosC-1=0，
解可得cosC=12或cosC=-1(舍)，
又由4sinB=3sinA，则有4b=3a，
又由a-b=1，
则a=4，b=3，
则c2=a2+b2-2abcosC=16+9-12=13，
则c=13，
故选：A．
根据题意，由三角恒等变形公式分析：2cos2A+B2-cos2C=1⇔2cos2C+cosC-1=0，解可得cosC的值，又由4sinB=3sinA以及a-b=1，计算可得a、b的值，由余弦定理计算可得答案．
此题主要考查三角形中的几何计算，关键是求出cosC的值．
7.【答案】B;
【解析】解：如图，设OP→和x正半轴的夹角为θ，则OQ→和x正半轴的夹角为θ+π3，则：
5cosθ=4，5sinθ=3，
∴cosθ=45,sinθ=35，
∴5cos(θ+π3)=52cosθ-532sinθ=2-332，即Q点的横坐标是2-332．
故选：B．
可设OP→和x正半轴的夹角为θ，然后可得出OQ→和x正半轴的夹角为θ+π3，从而可得出cosθ=45,sinθ=35，然后即可得出点Q的横坐标．
该题考查了向量坐标的定义，两角和的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是基础题．设塔高为h米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在ΔAOB中利用余弦定理列方程求得h的值．
解：设铁塔OT的高度为h，在RtΔAOT中，∠TAO=30°，AO=htan30∘=3h，
在RtΔBOT中，∠TBO=60°，BO=hsin60∘=33h，
在ΔAOB中，∠AOB=79°7'-19°9'=60°，
由余弦定理得，AB2=AO2+BO2-2⋅AO⋅BO⋅cos60°；
即1402=3h2+13h2-2×3h×33h×12，
化简得h2=37×1402；
又h>0，
所以解得h=140×37=2021；
即铁塔OT的高度为2021(米)．
故选：C．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查向量的基本概念、向量的数量积及向量的模，属于基础题.
根据向量的概念及向量的数量积、模运算逐项判断即可.
解：由相等向量可知，是A正确；
a→⋅b→a→2为实数，b→|a→|是与向量b→方向相同的向量，所以选项B不正确;
向量数量积运算不具有结合律，故选项C不正确；
设向量a→，b→的夹角为θ，
因为(a→⋅b→)2=|a→|2|b→|2cos2θ⩽|a→|2|b→|2=a→2b→2，所以选项D正确.
故选 AD.
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
解：由，
所以，，， BD→=3, 7，
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选BD.
11.【答案】ABC;
【解析】解：∵点A(4,6)，B(-3,32)，
∴AB→=(-7,-92)，
对于A，∵(143,3)=-23AB→，∴A正确；
对于B，∵(7,92)=-AB→，∴B正确；
对于C，∵(-143,-3)=23AB→，∴C正确；
对于D，∵7-7≠9-92，∴D错误．
故选：ABC.
求出AB→=(-7,-92)，利用向量平行的性质直接求解．
此题主要考查与已知向量平行的向量的坐标的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
12.【答案】ABD;
【解析】
本题只有考查正弦定理，余弦定理，，考查了转化思想，属于中档题．
对于A，由正弦定理得a2+b2
解：对于A，因为sin2A+sin2B
对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理 a sinA = b sinB=2R，得2RsinA>2RsinB，
即sinA>sinB成立，故B正确；
对于C，在ΔABC中，已知b=40，c=10，C=60°，由正弦定理可得：sin B=bsin Cc=40×3210=23>1，显然不成立，所以此三角形不存在，故C错.；
对于D，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积，故D正确.
故选ABD.
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查向量的相关概念，考查平行向量和相等向量的判断，属于基础题.解：向量的两大要素是方向和长度，A错误;
当b→为零向量时，a→//b→，b→//c→，但a→，c→不一定平行，B错误;
若a→·b→=a→·c→，则a→·b→cos⟨a→,b→⟩=a→·c→cos⟨a→,c→⟩，
即b→cos⟨a→,b→⟩=c→cos⟨a→,c→⟩，显然b→与c→不一定相等，C错误.
相等向量，则模相等，方向相同，D正确.
故选ABC.
14.【答案】90°;
【解析】
此题主要考查解三角形，考查余弦定理，属于基础题.
利用余弦定理求得a，因为满足勾股定理可求得A.
解：根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得a=3，
因为a2=b2+c2所以A=90°，
故答案为90°.
15.【答案】25;
【解析】解：由正弦定理有：
asinA=bsinB,sinA=asinBb=5×sin60∘15=12，∵a
故答案为：25．
由题意首先求得∠A的大小，然后结合题意求得c的值即可．
该题考查正弦定理及其应用，勾股定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
16.【答案】2π3;
【解析】
此题主要考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．
根据条件进行数量积的运算即可求出a→.b→=12，从而可求出|a→-b→|=1,(a→-b→).b→=-12，从而可求出cos=-12，这样根据向量夹角的范围即可求出向量的夹角．
解：∵a→,b→都是单位向量，且(2a→+3b→).(a→-b→)=-12；
∴2a2→-3b2→+a→.b→=2-3+a→.b→=-12；
∴a→.b→=12；
∴|a→-b→|=(a→-b→)2=1-1+1=1，(a→-b→).b→=a→.b→-b2→=-12；
设a→-b→与b→的夹角为θ，则cosθ=(a→-b→)⋅b→|a→-b→||b→|=-12；
又0⩽θ⩽π；
∴θ=2π3．
故答案为：2π3．
17.【答案】3;
【解析】解：ΔABC中，AC=23，且ΔABD为等边三角形，如图所示；
则∠ADC=120°，ΔADC中，AC=23，
由余弦定理得：AC2=CD2+AD2-2CD⋅AD⋅cos∠ADC，
即12=CD2+AD2-2CD⋅AD⋅(-12)，
又CD2+AD2⩾2CD⋅AD，所以3CD⋅AD⩽12，
即CD⋅AD⩽4，当且仅当CD=AD=2时取“=”；
所以ΔACD面积为S=12AD⋅CD⋅sin∠ADC⩽12×4×32=3，
即ΔACD面积S的最大值为3．
故答案为：3．
利用余弦定理和基本不等式求得CD⋅AD的最大值，再求ΔACD面积S的最大值．
此题主要考查了余弦定理以及三角形面积的计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．
18.【答案】120°;
【解析】
此题主要考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题，是基础题．
设向量a→，b→的夹角为θ，根据平面向量的数量积与夹角公式计算即可．
解：设向量a→，b→的夹角为θ，则θ∈[0°,180°]；
又a→⋅(a→+b→)=0，2|a→|=|b→|，
∴a2→+a→⋅b→=0，
即|a→|2+|a→|×2|a→|cosθ=0，
解得cosθ=-12，
∴θ=120°，
即向量a→，b→夹角为120°．
故答案为：120°．
19.【答案】解：（1）若选①，3cosB=2−2sinB2cosB2，
可得3cosB+sinB=2，
可得：sin（B+π3）=1，
因为B∈（0，π），
可得B+π3∈（π3，4π3），
可得B+π3=π2，
可得B=π6；
若选②，3bsinC=ccosB，
由正弦定理可得3sinBsinC=sinCcosB，
因为sinC≠0，
可得3sinB=cosB，即tanB=33，
因为B∈（0，π），可得B=π6；
若选③，因为（b+a）（b-a）=c2-3ac，
可得c2+a2-b2=3ac，
可得cosB=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，
因为B∈（0，π），可得B=π6；
（2）结合（1）因为c=3b，利用正弦定理可得sinCsinB=cb=3，
所以sinC=32，所以C=π3或2π3，
当C=π3时，A=π2，
因为a=4，
所以b=2，c=23，
可得：S△ABC=12bc=12×2×23=23，
当C=2π3时，A=π6，
所以A=B，又因为a=4，所以b=4，
S△ABC=12absinC=12×4×4×32=43．;
【解析】
(1)若选①，利用两角和的正弦公式可求sin(B+π3)=1，进而可得B的值；
若选②，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值；
若选③，利用余弦定理可得cosB，进而可求B；
(2)由正弦定理可求sinC，可得C=π3或2π3，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了两角和的正弦公式，二倍角公式，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】（本题满分为12分）
解：（1）∵43S=b2+c2-a2=43×12bcsinA，…………（1分）
∴cosA=b2+c2-a22bc=3sinA………………………………（4分）
∴tanA=33………………………………（5分）
∵0＜A＜π，
∴A=π6．………………………………（6分）
（2）∵a=2，b=23，A=π6，
∴由asinA=bsinB，得sinB=b.sinAa=23×122=32，………………………………（8分）
∵0＜B＜5π6，且B＞A，
∴B=π3或2π3，………………………………（10分）
∴C=π2或π6．………………………………（12分）;
【解析】
(1)由已知利用三角形面积公式，余弦定理可求tanA的值，结合范围0A，可求B的值，根据三角形内角和定理可求C的值．
这道题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由已知得ΔABC为直角三角形，因为AB=8，∠ABC=π6，
所以∠BAC=π3，AC=4，
在ΔACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-2AC⋅AEcosA，且CE=13，
所以13=16+AE2-4AE，
解得AE=1或AE=3，
(2)因为∠ACB=π2，∠ECF=π6，
所以∠ACE=α∈[0,π3]，
所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-π3-(α+π6)=π2-α，
在ΔACF中由正弦定理得：CFsinA=ACsin∠CFA=ACsin(π2-α)=ACcosα，
所以CF=23cosα，
在ΔACE中，由正弦定理得：CEsinA=ACsin∠AEC=ACsin(π3+α)，
所以CE=23sin(π3+α)，
由于：SΔECF=12CE⋅CFsin∠ECF=3sin(π3+α)cosα=122sin(2α+π3)+3，
因为α∈[0,π3]，所以π3⩽2α+π3⩽π，所以0⩽sin(2α+π3)⩽1，
所以当sin(2α+π3)=0时，SΔECF取最大值为43．;
【解析】
(1)由已知利用余弦定理，即可求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求SΔCEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
这道题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：（I）因为∠CBD=2∠ABD=2θ=13π，
所以12BC.BDsin13π=2×12BA.BDsinπ6，
所以BCBA=sinAsinC=23=233；
（II）因为12BC.BDsin2θ=2×12BA.BDsinθ，
即4×2sinθcosθ=2×22sinθ，
所以cosθ=22，
所以θ=π4，∠ABC=3θ=3π4，
所以AC2=16+8-2×4×22×(-22)=40，
所以AC=210．;
【解析】
(I)由已知结合三角形的面积公式及正弦定理可求；
(II)结合已知及三角形的面积公式可求θ，然后结合余弦定理即可求解．
此题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．
23.【答案】解：（1）∵cosC=255＞0，C∈（0，π），
∴sinC=1-cos2C=55．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=22×255-22×55=1010．
由正弦定理，可得BCsinA=ACsinB，
即BC=ACsinB.sinA=2；
（2）由已知及正弦定理，得AB=ACsinB.sinC=2，∴BD=1．
由余弦定理，可得CD2=1+2+2×2×1×22=5，
则CD=5．;
【解析】
(1)由已知求得sinC，再求出sinA，然后利用正弦定理求出BC；
(2)由已知结合正弦定理求AB，然后得到BD，再由余弦定理求出CD．
该题考查三角形的解法，两角和的正弦，正弦定理及余弦定理的应用，是基础题．
人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在菱形ABCD中，点E是线段CD上的一点，且EC→=2DE→，若|AB→|=35，|AE→|=217，则AE→.BE→=( )
A. 26 B. 24 C. 125 D. 817
2.（5分）在ΔABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )
A. b=10，A=45°，C=75° B. a=7，b=5，A=80°
C. a=60，b=48，C=60° D. a=14，b=16，A=45°
3.（5分）在ΔABC中，BC=23，AC=2，SΔABC=6，则∠C等于( )
A. π4 B. π3 C. π4或3π4 D. π3或2π3
4.（5分）如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北75°，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北30°方向，则A，B两亭子间的距离为( )
A. 503米 B. 1003米 C. 506米 D. 1006米
5.（5分）设a→=(1,2)，b→=(1,1)，c→=a→+kb→，若b→⊥c→，则实数k的值等于( )
A. -32 B. -53 C. 53 D. 32
6.（5分）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若2cos2A+B2-cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=1，则c的值为( )
A. 13 B. 7 C. 37 D. 6
7.（5分）在平面直角坐标系中，O(0,0)，P(4,3)，将向量OP→按逆时针旋转π3后，得向量OQ→，则点Q的横坐标是( )
A. 2+332 B. 2-332 C. 23+32 D. 23-32
8.（5分）为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19°7'方向上，塔顶丁处的仰角为30°，小刘从A处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79°7'方向上．塔顶T处的仰角为60°，则铁塔OT的高度为( )
A. 207米 B. 257米 C. 2021米 D. 2521米
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间向量a→(a→≠0→)，b→，c→，则下列结论正确的有( )
A. 若a→=b→，b→=c→，则a→=c→ B. a→⋅b→a→2=b→a→
C. a→.(b→.c→)=(a→.b→).c→ D. (a→⋅b→)2⩽a→2b→2
10.（5分）已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8)，如下四个结论正确的是( )
A. AB→⊥AC→
B. 四边形ABCD为平行四边形
C. AC→与BD→夹角的余弦值为729145
D. |AB→+AC→|=85
11.（5分）已知点A(4,6)，B(-3,32)，与向量AB→平行的向量的坐标可以是()
A. (143,3) B. (7,92)
C. (-143,-3) D. (7,9)
12.（5分）(多选)对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是
A. 若sin2A+sin2B
C. 若b=8，c=10，B=60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D. 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．
13.（5分）下列有关平面向量的命题中，不正确的是()
A. 若|a→|=|b→|，则a→=b→
B. 已知a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 若非零向量a→，b→，c→，满足a→·b→=a→·c→，则b→=c→
D. 若a→=b→，则|a→|=|b→|且a→//b→
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=2，cosB=23，则A=______.
15.（5分）已知ΔABC，a=5，b=15，B=60°，则c=______．
16.（5分）已知单位向量a→，b→满足(2a→+3b→)(a→-b→)=-12，则a→-b→与b→的夹角为______
17.（5分）已知ΔABC中，AC=23，D是BC边上的一点，且ΔABD为等边三角形，则ΔACD面积S的最大值为______．
18.（5分）若非零向量a→，b→满足a→⋅(a→+b→)=0，2|a→|=|b→|，则向量a→，b→夹角的大小为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）①3cosB=2-2sinB2cosB2，
②3bsinC=ccosB，
③(b+a)(b-a)=c2-3ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知ΔABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a=4，c=3b，_____，
(1)求B；
(2)求ΔABC的面积．
20.（12分）ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ΔBC的面积为S，若43S=b2+c2-a2
(1)求角A；
(2)若a=2，b=23，求角C．
21.（12分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F在直径AB上，且∠ABC=π6．
(1)若CE=13，求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．
22.（12分）如图，D是在ΔABC边AC上的一点，ΔBCD面积是ΔABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ.
(Ⅰ)若θ=π6，求sinAsinC的值；
(Ⅱ)若BC=4，AB=22，求边AC的长．
23.（12分）已知ΔABC中，B=3π4，AC=10，cosC=255．
(1)求边BC的长；
(2)若边AB的中点为D，求中线CD的长．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：连接AC，BD交于点O，以点O为坐标原点，AC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设OC=m(m>0)，OD=n(n>0)，
则A(-m,0)，C(m,0)，B(0,-n)，D(0,n)，
所以AB→=(m,-n)，AE→=AD→+DE→=AD→+13DC→=(m,n)+13(m,-n)=(43m,23n)，
所以m2+(-n)2=35(4m3)2+(2n3)2=217，解得m=6n=3，
所以AE→=(8,2)，BE→=AE→-AB→=(2,5)，
所以AE→⋅BE→=26．
故选：A．
以点O为坐标原点，AC为x轴，BD为y轴，建立直角坐标系，设OC=m(m>0)，OD=n(n>0)，用坐标表示出AB→，AE→，利用模长公式列关于m，n的方程组，解可得m，n的值，从而可求AE→，BE→，再利用数量积的坐标运算即可求解．
此题主要考查平面向量数量积的运算，建立适当的直角坐标系是解答该题的关键，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】
该题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时D有两解，符合题意．
解：∵a=14，b=16，A=45°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=16×2214=427>22，
∵a
故选D．
3.【答案】C;
【解析】解：∵SΔABC=12BC⋅AC⋅sinC=12⋅23⋅2⋅sinC=6，
∴sinC=22，
∵0<∠C<π，
∴∠C=π4或3π4，
故选：C．
利用面积公式求得sinC，进人求得C．
这道题主要考查了正弦定理的应用．注重了对基础知识的考查．
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查解三角形的应用，属于中档题.
连接AB，在ΔADC中，由条件可得∠ADC=105°，∠ACD=30°，则∠DAC=45°，利用正弦定理求得AD=502，在ΔADB中，由余弦定理即可求得结果.
解：连接AB，在ΔADC中，由条件可得∠ADC=105°，∠ACD=30°，则∠DAC=45°，
∵CD=100，
∴在ΔADC中，由正弦定理得100sin45°=ADsin30°，
∴AD=502，
在ΔADB中，由条件得BD=1002，
且∠ADB=∠ADC-∠BDC=60∘，
∴在ΔADB中，由余弦定理得AB2=(502)2+(1002)2-2×502×1002×12
=502×6，
∴AB=506，
故选C.
5.【答案】A;
【解析】
该题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
由题意可得c→的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．
解：∵a→=(1,2)，b→=(1,1)，
∴c→=a→+kb→=(1+k,2+k)，
∵b→⊥c→，
∴b→⋅c→=0，
∴1+k+2+k=0，
解得k=-32．
故选A．
6.【答案】A;
【解析】解：根据题意，ΔABC中，2cos2A+B2-cos2C=1，变形可得2cos2A+B2-1=cos2C，
则有cos2C+cosC=0，即2cos2C+cosC-1=0，
解可得cosC=12或cosC=-1(舍)，
又由4sinB=3sinA，则有4b=3a，
又由a-b=1，
则a=4，b=3，
则c2=a2+b2-2abcosC=16+9-12=13，
则c=13，
故选：A．
根据题意，由三角恒等变形公式分析：2cos2A+B2-cos2C=1⇔2cos2C+cosC-1=0，解可得cosC的值，又由4sinB=3sinA以及a-b=1，计算可得a、b的值，由余弦定理计算可得答案．
此题主要考查三角形中的几何计算，关键是求出cosC的值．
7.【答案】B;
【解析】解：如图，设OP→和x正半轴的夹角为θ，则OQ→和x正半轴的夹角为θ+π3，则：
5cosθ=4，5sinθ=3，
∴cosθ=45,sinθ=35，
∴5cos(θ+π3)=52cosθ-532sinθ=2-332，即Q点的横坐标是2-332．
故选：B．
可设OP→和x正半轴的夹角为θ，然后可得出OQ→和x正半轴的夹角为θ+π3，从而可得出cosθ=45,sinθ=35，然后即可得出点Q的横坐标．
该题考查了向量坐标的定义，两角和的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是基础题．设塔高为h米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在ΔAOB中利用余弦定理列方程求得h的值．
解：设铁塔OT的高度为h，在RtΔAOT中，∠TAO=30°，AO=htan30∘=3h，
在RtΔBOT中，∠TBO=60°，BO=hsin60∘=33h，
在ΔAOB中，∠AOB=79°7'-19°9'=60°，
由余弦定理得，AB2=AO2+BO2-2⋅AO⋅BO⋅cos60°；
即1402=3h2+13h2-2×3h×33h×12，
化简得h2=37×1402；
又h>0，
所以解得h=140×37=2021；
即铁塔OT的高度为2021(米)．
故选：C．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查向量的基本概念、向量的数量积及向量的模，属于基础题.
根据向量的概念及向量的数量积、模运算逐项判断即可.
解：由相等向量可知，是A正确；
a→⋅b→a→2为实数，b→|a→|是与向量b→方向相同的向量，所以选项B不正确;
向量数量积运算不具有结合律，故选项C不正确；
设向量a→，b→的夹角为θ，
因为(a→⋅b→)2=|a→|2|b→|2cos2θ⩽|a→|2|b→|2=a→2b→2，所以选项D正确.
故选 AD.
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
解：由，
所以，，， BD→=3, 7，
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选BD.
11.【答案】ABC;
【解析】解：∵点A(4,6)，B(-3,32)，
∴AB→=(-7,-92)，
对于A，∵(143,3)=-23AB→，∴A正确；
对于B，∵(7,92)=-AB→，∴B正确；
对于C，∵(-143,-3)=23AB→，∴C正确；
对于D，∵7-7≠9-92，∴D错误．
故选：ABC.
求出AB→=(-7,-92)，利用向量平行的性质直接求解．
此题主要考查与已知向量平行的向量的坐标的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
12.【答案】ABD;
【解析】
本题只有考查正弦定理，余弦定理，，考查了转化思想，属于中档题．
对于A，由正弦定理得a2+b2
解：对于A，因为sin2A+sin2B
对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理 a sinA = b sinB=2R，得2RsinA>2RsinB，
即sinA>sinB成立，故B正确；
对于C，在ΔABC中，已知b=40，c=10，C=60°，由正弦定理可得：sin B=bsin Cc=40×3210=23>1，显然不成立，所以此三角形不存在，故C错.；
对于D，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积，故D正确.
故选ABD.
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查向量的相关概念，考查平行向量和相等向量的判断，属于基础题.解：向量的两大要素是方向和长度，A错误;
当b→为零向量时，a→//b→，b→//c→，但a→，c→不一定平行，B错误;
若a→·b→=a→·c→，则a→·b→cos⟨a→,b→⟩=a→·c→cos⟨a→,c→⟩，
即b→cos⟨a→,b→⟩=c→cos⟨a→,c→⟩，显然b→与c→不一定相等，C错误.
相等向量，则模相等，方向相同，D正确.
故选ABC.
14.【答案】90°;
【解析】
此题主要考查解三角形，考查余弦定理，属于基础题.
利用余弦定理求得a，因为满足勾股定理可求得A.
解：根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得a=3，
因为a2=b2+c2所以A=90°，
故答案为90°.
15.【答案】25;
【解析】解：由正弦定理有：
asinA=bsinB,sinA=asinBb=5×sin60∘15=12，∵a
故答案为：25．
由题意首先求得∠A的大小，然后结合题意求得c的值即可．
该题考查正弦定理及其应用，勾股定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
16.【答案】2π3;
【解析】
此题主要考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．
根据条件进行数量积的运算即可求出a→.b→=12，从而可求出|a→-b→|=1,(a→-b→).b→=-12，从而可求出cos
解：∵a→,b→都是单位向量，且(2a→+3b→).(a→-b→)=-12；
∴2a2→-3b2→+a→.b→=2-3+a→.b→=-12；
∴a→.b→=12；
∴|a→-b→|=(a→-b→)2=1-1+1=1，(a→-b→).b→=a→.b→-b2→=-12；
设a→-b→与b→的夹角为θ，则cosθ=(a→-b→)⋅b→|a→-b→||b→|=-12；
又0⩽θ⩽π；
∴θ=2π3．
故答案为：2π3．
17.【答案】3;
【解析】解：ΔABC中，AC=23，且ΔABD为等边三角形，如图所示；
则∠ADC=120°，ΔADC中，AC=23，
由余弦定理得：AC2=CD2+AD2-2CD⋅AD⋅cos∠ADC，
即12=CD2+AD2-2CD⋅AD⋅(-12)，
又CD2+AD2⩾2CD⋅AD，所以3CD⋅AD⩽12，
即CD⋅AD⩽4，当且仅当CD=AD=2时取“=”；
所以ΔACD面积为S=12AD⋅CD⋅sin∠ADC⩽12×4×32=3，
即ΔACD面积S的最大值为3．
故答案为：3．
利用余弦定理和基本不等式求得CD⋅AD的最大值，再求ΔACD面积S的最大值．
此题主要考查了余弦定理以及三角形面积的计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．
18.【答案】120°;
【解析】
此题主要考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题，是基础题．
设向量a→，b→的夹角为θ，根据平面向量的数量积与夹角公式计算即可．
解：设向量a→，b→的夹角为θ，则θ∈[0°,180°]；
又a→⋅(a→+b→)=0，2|a→|=|b→|，
∴a2→+a→⋅b→=0，
即|a→|2+|a→|×2|a→|cosθ=0，
解得cosθ=-12，
∴θ=120°，
即向量a→，b→夹角为120°．
故答案为：120°．
19.【答案】解：（1）若选①，3cosB=2−2sinB2cosB2，
可得3cosB+sinB=2，
可得：sin（B+π3）=1，
因为B∈（0，π），
可得B+π3∈（π3，4π3），
可得B+π3=π2，
可得B=π6；
若选②，3bsinC=ccosB，
由正弦定理可得3sinBsinC=sinCcosB，
因为sinC≠0，
可得3sinB=cosB，即tanB=33，
因为B∈（0，π），可得B=π6；
若选③，因为（b+a）（b-a）=c2-3ac，
可得c2+a2-b2=3ac，
可得cosB=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，
因为B∈（0，π），可得B=π6；
（2）结合（1）因为c=3b，利用正弦定理可得sinCsinB=cb=3，
所以sinC=32，所以C=π3或2π3，
当C=π3时，A=π2，
因为a=4，
所以b=2，c=23，
可得：S△ABC=12bc=12×2×23=23，
当C=2π3时，A=π6，
所以A=B，又因为a=4，所以b=4，
S△ABC=12absinC=12×4×4×32=43．;
【解析】
(1)若选①，利用两角和的正弦公式可求sin(B+π3)=1，进而可得B的值；
若选②，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值；
若选③，利用余弦定理可得cosB，进而可求B；
(2)由正弦定理可求sinC，可得C=π3或2π3，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了两角和的正弦公式，二倍角公式，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】（本题满分为12分）
解：（1）∵43S=b2+c2-a2=43×12bcsinA，…………（1分）
∴cosA=b2+c2-a22bc=3sinA………………………………（4分）
∴tanA=33………………………………（5分）
∵0＜A＜π，
∴A=π6．………………………………（6分）
（2）∵a=2，b=23，A=π6，
∴由asinA=bsinB，得sinB=b.sinAa=23×122=32，………………………………（8分）
∵0＜B＜5π6，且B＞A，
∴B=π3或2π3，………………………………（10分）
∴C=π2或π6．………………………………（12分）;
【解析】
(1)由已知利用三角形面积公式，余弦定理可求tanA的值，结合范围0
这道题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由已知得ΔABC为直角三角形，因为AB=8，∠ABC=π6，
所以∠BAC=π3，AC=4，
在ΔACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-2AC⋅AEcosA，且CE=13，
所以13=16+AE2-4AE，
解得AE=1或AE=3，
(2)因为∠ACB=π2，∠ECF=π6，
所以∠ACE=α∈[0,π3]，
所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-π3-(α+π6)=π2-α，
在ΔACF中由正弦定理得：CFsinA=ACsin∠CFA=ACsin(π2-α)=ACcosα，
所以CF=23cosα，
在ΔACE中，由正弦定理得：CEsinA=ACsin∠AEC=ACsin(π3+α)，
所以CE=23sin(π3+α)，
由于：SΔECF=12CE⋅CFsin∠ECF=3sin(π3+α)cosα=122sin(2α+π3)+3，
因为α∈[0,π3]，所以π3⩽2α+π3⩽π，所以0⩽sin(2α+π3)⩽1，
所以当sin(2α+π3)=0时，SΔECF取最大值为43．;
【解析】
(1)由已知利用余弦定理，即可求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求SΔCEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
这道题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：（I）因为∠CBD=2∠ABD=2θ=13π，
所以12BC.BDsin13π=2×12BA.BDsinπ6，
所以BCBA=sinAsinC=23=233；
（II）因为12BC.BDsin2θ=2×12BA.BDsinθ，
即4×2sinθcosθ=2×22sinθ，
所以cosθ=22，
所以θ=π4，∠ABC=3θ=3π4，
所以AC2=16+8-2×4×22×(-22)=40，
所以AC=210．;
【解析】
(I)由已知结合三角形的面积公式及正弦定理可求；
(II)结合已知及三角形的面积公式可求θ，然后结合余弦定理即可求解．
此题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．
23.【答案】解：（1）∵cosC=255＞0，C∈（0，π），
∴sinC=1-cos2C=55．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=22×255-22×55=1010．
由正弦定理，可得BCsinA=ACsinB，
即BC=ACsinB.sinA=2；
（2）由已知及正弦定理，得AB=ACsinB.sinC=2，∴BD=1．
由余弦定理，可得CD2=1+2+2×2×1×22=5，
则CD=5．;
【解析】
(1)由已知求得sinC，再求出sinA，然后利用正弦定理求出BC；
(2)由已知结合正弦定理求AB，然后得到BD，再由余弦定理求出CD．
该题考查三角形的解法，两角和的正弦，正弦定理及余弦定理的应用，是基础题．
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