人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率学案

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知识精讲
知识点
1. 基本事件
在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件．
基本事件有如下特点：
任何两个基本事件是互斥的．
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
2. 随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
3. 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
4. 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ) ，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
【微点拨】求古典概型概率的步骤：
(1)确定样本空间的样本点的总数n
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m
(3) P(A)＝eq \f(m,n)
【即学即练1】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为（ ）
A．6B．17C．19D．21
【即学即练2】下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．一只使用中的灯泡寿命长短
【即学即练3】甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练4】小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练5】(多选题)下列试验是古典概型的为（ ）
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等
B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【即学即练6】从长度为3，4，5，7，9的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是___________.
【即学即练7】从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验基本事件的总数；
(3)写出“第一次取出的数字是2”这一事件.
【即学即练8】一个正方体的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个，求恰有一个面涂有红色的概率．
【即学即练9】抛掷两枚质地均匀的骰子，试计算下列事件的概率：
(1)两枚骰子的点数相同；
(2)两枚骰子的点数之和是6；
(3)两枚骰子的点数之和不是6；
(4)至少一枚骰子的点数是3．
【即学即练10】按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：
表1：
表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：
表2：
从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为__________．
【即学即练11】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的两个黑球和编号为c，d，e的三个红球，从中任意摸出两个球．
（1）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率：
（2）求至少摸出1个黑球的概率．
能力拓展
考法01
求基本事件
【典例1】在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（ ）
A．抽到第一组与抽到第二组B．抽到第一组与抽到男学生
C．抽到女学生与抽到班干部D．抽到班干部与抽到学习标兵
【典例2】同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例3】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究种取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数种，随机选取两个不同的数，其和等于30的取法有______种.
【典例4】有4件产品，其中有2件是一等品，2件是二等品，从中任意摸出2件产品.
（1）其对应的样本空间为_________________________________；
（2）样本点的个数为___________；
（3）“恰有一件是一等品”这一事件用集合表示为_________________________________.
【典例5】同时抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出下列事件：
(1)硬币是正面，骰子的点数是奇数；
(2)硬币是正面，骰子的点数是偶数；
(3)硬币是正面；
(4)骰子的点数是5.
考法02
古典概型的判定
并不是所有的试验都是古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型．两个条件中只要有一个不满足就不是古典概型．
【典例6】下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【典例7】下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
【典例8】（1）在数轴上0~3之间任取一点x，观察x是否小于1．此试验是否为古典概型？为什么？
（2）从1，2，3，4四个数中任意取出两个数，观察所取两数之一是否是5．此试验是古典概型吗？试说明理由．
（3）投掷一颗质地非均匀的骰子，观察掷出的点数．此试验是否为古典概型？为什么？
考法03
古典概型的计算
求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在写出基本事件后最好检验一下各基本事件发生的概率是否相同．求随机事件的概率的关键就是明晰它包含了几个基本事件．
要写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列举法、列表法、坐标系法、树形图法等．无论采用哪种方法，都要求按照一定的顺序进行，以做到不重不漏．
【典例9】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例10】有五条线段，长度分别为2，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为__________．
【典例11】口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28．若红球有21个，则蓝球有__________个．
【典例12】同时抛掷三枚质地均匀的硬币，计算以下事件的概率：
(1)至少一枚反面朝上；
(2)至少两枚反面朝上；
(3)恰好两枚反面朝上．
【典例13】甲袋中有5个球（3红，2白），乙袋中有3个球（2红，1白），从每袋中各任取1个球，求至少取到1个白球的概率．
【典例14】小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如下图所示．求一个回合能确定两人先下棋的概率．
考法04
易错点提示：
【典例15】从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛，求选中女生的概率．
分层提分
题组A 基础过关练
1．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（ ）
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
2. 下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
3. 下列说法错误的是（ ）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
4. 为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这只小动物中随机取出只检测，则恰有只注射过该新药的概率为（ ）
A． B． C． D．
5. 从标号分别为、、、、的张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差的概率为（ ）
A．B．C．D．
6. 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7. 从（40，30），（50，10）， 20，30），（45，5），（10，10）中任取一个点，这个点在圆内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
8. 某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售．该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x（个）为每天商品的销量，y（元）为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是（ ）
A． B． C． D．
9. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ）
A． B． C． D．
11. 数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数．水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合｛147，152，154，157，“水仙四妹”｝的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（ ）
A．B．C．D．
12. 某班级的班委由包含甲､乙在内的5位同学组成，他们分成两个小组参加某项活动，其中一个小组有3位同学，另外一个小组有2位同学，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ）
A．B．C．D．
13. 甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为，，，乙的三张扑克牌分别记为，，.这六张扑克牌的大小顺序为.比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（ ）
A．B．C．D．
14. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A．B．C．D．
15. 两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
16. 把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1. (多选题)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
2. (多选题)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成9个不同的三位数B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为D．所得的三位数大于400的概率为
3. (多选题) 以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
4. (多选题)某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲､乙､丙､丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
5. (多选题)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列说法正确的是（ ）
A．一共有种不同的结果
B．两枚骰子向上的点数相同的概率是
C．两枚骰子向上的点数之和为的概率是
D．两枚骰子向上的点数之差的绝对值小于的概率为
6. (多选题)某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
7. (多选题)从集合中随机选取一个数记为a，从集合中随机选取一个数记为b，则（ ）
A．的概率是 B．的概率是
C．直线不经过第三象限的概率是 D．的概率是
8. 有一批小包装食品，其中质量在90~95g的有40袋，质量在95~100g的有30袋，质量在100~105g的有10袋．从中任意抽取1袋，此袋食品的质量在95~100g的概率为________，此袋食品的质量不足100g的概率为________，此袋食品的质量不低于95g的概率为________．（质量在a~bg指的是质量的数值在区间内）
9. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件给出下列事件：①都不是一等品；②恰有1件一等品；③至少有1件一等品；④至多有1件一等品．其中以为概率的事件是______（填序号）．
10. 一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________．
11. 将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，观察取到的小正方体的情况，则事件B为“从小正方体中任取1个，恰有两面涂有颜色”，那么事件B含有________个样本点．
12. 在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
13. 一叠卡片共有10张，分别写上1～10十个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张卡片，则P(抽到卡片上的数字大于6)＝________，P(抽到卡片上的数字大于7小于9)＝________，P(抽到卡片上的数字为偶数)＝________．
14. 在一个古典型（或几何概型）中，若两个不同随机事件、概率相等，则称和是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”，关于“等概率事件”，以下判断正确的是__________.
①在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件”；
②若一个古典概型的事件总数为大于2的质数，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”；
③因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件是“等概率事件”；
④随机同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”.
15. 由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______．
16. 辛普森悖论(Simpsn’sParadx)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森()于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：
对于此次招生，给出下列四个结论：
①法学院的录取率小于商学院的录取率；
②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；
③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；
④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.
其中，所有正确结论的序号是___________.
C 培优拔尖练
1. ．已知口袋中有3个小球，，．
(1)若从中任取2个，写出这个试验的样本空间；
(2)每次任取1个，连续取两次
①若每次取出后不放回，写出这个试验的样本空间；
②若每次取出后放回，写出这个试验的样本空间．
2. 将一颗骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数.
(1)写出试验的样本空间Ω；
(2)记“第一次出现的点数为4”为事件A，“第一次出现的点数为4､第二次出现的点数是偶数”为事件B，写出A，B所包含的样本点，并用集合的语言分析A与B的关系；
(3)记“两次出现的点数之和为8”为事件C，“两次出现的点数之差大于3”为事件D，分别写出C+D与CD所包含的样本点.
3. 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
4. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率．
5. 某班在一次个人投篮比赛中，记录了在规定时间内投进个球的人数分布情况：
其中和对应的数据不小心丢失了，已知进球3个或3个以上，人均投进4个球；进球5个或5个以下，人均投进2.5个球．
（1）投进3个球和4个球的分别有多少人？
（2）从进球数为3，4，5的所有人中任取2人，求这2人进球数之和为8的概率．
6. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．
（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；
（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；
（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率．
7. 某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．设其中某项问题的选择只有“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．
（1）请完成此统计表；
（2）试估计高三年级学生“同意”的人数；
（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率．
8. 书架上有《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》4本名著，按任意顺序摆放，求下列事件的概率：
(1)《西游记》摆在两端；
(2)《西游记》和《水浒传》不相邻；
(3)《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书；
(4)《西游记》或《水浒传》摆在两端；
(5)《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻．
9. 某大学的教授从大二年级学生所选修的《消费者化学》的成绩中随机抽取40名学生的成绩，分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中实数a的值；
（2）若该校大二年级共有640名学生，试估计该校大二年级所选修的《消费者化学》的成绩不低于60分的学生人数；
（3）若从样本中成绩在[40，50)与[90，100]内的所有学生中随机选取2名学生，求这2名学生的成绩之差的绝对值不大于10的概率．
10. 美国制裁中兴，未来7年一颗芯片都不卖，这却激发了中国“芯”的研究热潮．某公司甲，乙，丙三个研发小组分别研发，，三种不同的芯片，现在用分层抽样的方法从这些芯片中抽取若干件进行质量分析，有关数据见下表（单位：件）．
（1）求的值；
（2）若在这抽出的样品中随机抽取2件送往某机构进行进一步检测，求这2件芯片来自不同种类的概率．
课程标准
课标解读
了解基本事件的特点，理解古典概型的定义及特点；
理解古典概型的概率公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；
会应用古典概型的概率公式解决实际问题.
通过本节课的学习，要求会判断古典概型，会求随机事件所包含的基本事件数，会应用古典概型的计算公式解决与古典概型有关的问题.
赵
钱
孙
李
周
吴
郑
王
冯
陈
褚
卫
蒋
沈
韩
杨
朱
秦
尤
许
何
吕
施
张
1：李
2：王
3：张
4：刘
5：陈
6：杨
7：赵
8：黄
9：周
10：吴
某高校
申请人数
性别
录取率
法学院
200人
男
50%
女
70%
商学院
300人
男
60%
女
90%
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
进球数（个）
0
1
2
3
4
5
投进个球的人数（人）
1
2
7
2
同意
不同意
合计
教师
1
女生
4
男生
2
芯片
数量
抽取件数
200
600
400
2